Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh để có thêm tài liệu ôn tập chuẩn bị cho kì thi chọn học sinh giỏi sắp tới. Tài liệu đi kèm có đáp án giúp các em so sánh kết quả và tự đánh giá được lực học của bản thân, từ đó đặt ra kế hoạch ôn tập phù hợp giúp các em đạt kết quả cao trong kì thi. Ngoài ra, quý thầy cô có thể sử dụng bộ đề làm tài liệu tham khảo phục vụ công tác giảng dạy và ra đề thi đánh giá năng lực học sinh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp quốc gia năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Bắc Ninh UBND TỈNH BẮC NINH ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯ Môn thi: Toán ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Ngày thi thứ nhất: 24/9/2019 (Đề thi có 01 trang) ¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯¯Câu 1 (5,0 điểm) Cho hai dãy số (un ), (vn ) xác định như sau u0  a; v0  b với hằng số thực a, b cho trước thỏa un  vnmãn 0  a  b và un 1  , vn 1  un 1.vn với mọi số tự nhiên n . 2 a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau. b) Tìm giới hạn đó theo a, b .Câu 2 (5,0 điểm) Cho số nguyên tố p . Chứng minh rằng tồn tại vô số số tự nhiên n thỏa mãn điều kiện 2020n  2019  n  2018 (mod p) .Câu 3 (5,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC không cân. Gọi H , O lần lượt là trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếptam giác ABC ; D, E lần lượt là chân đường cao hạ từ các đỉnh A, B của tam giác ABC. Các đườngthẳng OD và BE cắt nhau tại K , các đường thẳng OE và AD cắt nhau tại L. Gọi M là trung điểmcạnh AB. Chứng minh ba điểm K , L, M thẳng hàng khi và chỉ khi bốn điểm C , D, O, H cùng nằm trênmột đường tròn.Câu 4 (5,0 điểm) Tìm tất cả các đa thức f  x  có hệ số thực và bậc là số tự nhiên lẻ sao cho: f  x 2  1  f 2  x   1, x  . ------------ Hết ------------ Thí sinh không được sử dụng tài liệu và máy tính cầm tay. Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm. Họ và tên thí sinh:.....................................................................Số báo danh :…………... UBND TỈNH BẮC NINH HƯỚNG DẪN CHẤM SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: Toán (Hướng dẫn chấm có 04 trang)Câu Đáp án Điểm Cho 2 dãy số (un ) , (vn ) xác định như sau: un  vn u0  a; v0  b với hằng số thực a, b cho trước thỏa mãn 0  a  b và un 1  , 21.a 2,0 vn 1  un 1.vn với mọi số tự nhiên n . a) Chứng tỏ hai dãy đã cho đều hội tụ và có giới hạn bằng nhau. Ta chứng minh quy nạp rằng un  un 1  vn và un 1  vn 1  vn với mọi n . 1,0 Do đó, 2 dãy đã cho là đơn điệu và bị chặn bởi u0  a; v0  b nên hội tụ. un  vn lim un  lim vn Từ un 1  , cho qua giới hạn ta được lim un 1  hay lim un  lim vn 2 2 1,0 (đpcm).1.b b) Tìm giới hạn đó theo a, b . 3,0 a  Do 0  a  b nên đặt  cos  với   (0; ) . Ta chứng minh rằng b 2 1,0     un  b cos 1 .cos 2 ...cos n 1 .cos 2 n 2 2 2 2    Và vn  b cos 1 .cos 2 ...cos n với mọi số nguyên dương n . 2 2 2 1,0 b sin  b sin  Từ đó rút gọn biểu thức ta được vn    . n  n   2 sin n 2 ...