Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa này giúp các em học sinh ôn tập kiến thức chuẩn bị cho bài thi chọn HSG cấp tỉnh sắp tới, rèn luyện kỹ năng giải đề thi để các em nắm được toàn bộ kiến thức chương trình Toán lớp 12. Chúc các em ôn tập kiểm tra đạt kết quả cao.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 cấp tỉnh năm 2020-2021 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HSG CÁC MÔN VĂN HÓA CẤP TỈNH THANH HÓA NĂM HỌC 2020 – 2021 ĐỀ THI CHÍNH THỨC Môn thi: TOÁN - Lớp: 12 THPT TOANMATH.com Ngày thi: 15 / 12 / 2020 Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian giao đề) Đề thi có 05 câu - gồm 01 trangCâu 1. (4,0 điểm)Cho hàm số y  x 3  3 x 2  4 có đồ thị  C  .1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số.2. Tìm m để đường thẳng y  m( x  2) cắt đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồthị  C  tại ba điểm đó tạo thành tam giác vuông.Câu 2. (4,0 điểm)  1. Giải phương trình: sin x 2 3 cos x  3  2  sin x  1  3 cos x  cos 2 x .   2   2  x ln 1    ln 1  y    x  2. Giải hệ phương trình:   x; y    .  1  2  2 y  3xy  x xy 5y  6 Câu 3. (4,0 điểm)1. Gọi X là tập hợp các số tự nhiên có 6 chữ số đôi một khác nhau lấy từ các chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7.Chọn ngẫu nhiên một số từ tập X. Tính xác suất để số được chọn là số chẵn, có mặt hai chữ số 1 và 2,đồng thời 1 và 2 không đứng cạnh nhau.2. Để đủ tiền mua nhà, anh An vay ngân hàng 500 triệu theo phương thức trả góp với lãi suất0,85%/tháng. Sau mỗi tháng, kể từ thời điểm vay, anh An trả nợ cho ngân hàng số tiền cố định là 10triệu đồng bao gồm cả tiền lãi vay và tiền gốc. Biết lãi suất không thay đổi trong suốt quá trình anh Antrả nợ. Hỏi sau bao nhiêu tháng thì anh trả hết nợ ngân hàng? (tháng cuối có thể trả dưới 10 triệu đồng).Câu 4. (6,0 điểm)1. Cho khối chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật. Một mặt phẳng thay đổi luôn song song vớimặt phẳng chứa đa giác đáy và cắt các cạnh bên SA, SB, SC, SD lần lượt tại M, N, P, Q (không trùng cácđỉnh của hình chóp S.ABCD). Gọi M , N , P , Q lần lượt là hình chiếu vuông góc của M, N, P, Q lên SMmặt phẳng  ABCD  . Tính tỉ số để thể tích khối đa diện MNPQ.M N P Q đạt giá trị lớn nhất. SA2. Cho mặt cầu tâm O, bán kính R  1 . Từ điểm S bất kỳ trên mặt cầu kẻ ba đường thẳng cắt mặt cầu tạicác điểm A, B, C (khác với S) sao cho SA  SB  SC và    CSA ASB  BSC    . Khi  thay đổi, tínhthể tích lớn nhất của khối chóp S.ABC.3. Cho hình chóp S.ABC có đáy là tam giác đều cạnh 2a, D là trung điểm BC. Biết SAD là tam giácđều và mặt phẳng  SAD  vuông góc với mặt phẳng  ABC  . Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng SAB  .Câu 5. (2,0 điểm)Cho các số thực không âm x, y, z thỏa mãn x  y  z  4 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu thứcP  x3  y 3  z 3  8  xy 2  yz 2  zx 2  . -------------------- HẾT -------------------- Thí sinh không được sử dụng tài liệu. Giám thị không giải thích gì thêm./.Họ và tên học sinh: . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Số báo danh: . . . . . . . . . . . . . .Câu I. Cho hàm số y  x 3  3x 2  4 có đồ thị  C  . 1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị  C  của hàm số. Lời giải • Tập xác định   . • Đạo hàm y  3x 2  6 x .  x  2  y  0 • y  0    x  0  y  4 • Giới hạn lim y   , lim y   . x  x  • Bảng biến thiên • Hàm số đồng biến trên  ; 2  và  0;  , nghịch biến trên  2;0  . • Hàm số đạt cực đại tại x  2 , yCÐ  0 . • Hàm số đạt cực tiểu tại x  0 , yCT  4 . • Ta có y  6 x  6 ; y   0  x  1  y  2 . Điểm uốn I  1; 2  . • Đồ thị 2. Tìm m để đường thẳng y  m  x  2  cắt đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến Lời giải Phương trình hoành độ giao điểm của đường thẳng y  m  x  2  và đồ thị  C  là: x 3  3 x 2  4  m  x  2    x  1 x  2   m  x  2  2  x  2   x  2  x2  x  2  m  0   2  x  x  2  m  0 1 Đường thẳng y  m  x  2  cắt đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  4 tại ba điểm phân biệt  phương trình 1 có hai nghiệm phân biệt khác 2  9 9  4 m  0 m     4  * m  0 m  0 Khi đó đường thẳng y  m  x  2  cắt đồ thị hàm số y  x 3  3 x 2  4 tại ba điểm phân biệt có hoành độ 2, x1 , x2 với x1 , x2 là hai nghiệm của phương trình 1 .  x1  x2  1 Theo định lí Viet ta có  .  x1.x2  m  2 Ta có y  3 x 2  6 x . Suy ra hệ số góc của các tiếp tuyến của đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt có hoành độ 2, x1 , x2 là y  2   0, y  x1   3 x12  6 x1 , y  x2   3 x22  6 x2 Đường thẳng y  m  x  2  cắt đồ thị  C  tại ba điểm phân biệt sao cho tiếp tuyến với đồ thị  C ...