Đề thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Bình

Dưới đây là đề thi học sinh giỏi cấp quốc gia lớp 12 môn Toán của sở giáo dục đào tạo Quảng Bình mời các phụ huynh hãy tham khảo để giúp con em mình củng cố kiến thức cũng như cách giải các bài tập nhanh nhất và chính xác.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi quốc gia lớp 12 THPT môn Toán - Sở GD&ĐT Quảng Bìnhsë gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò thi chän ®éi tuyÓn chÝnh thøc dù thi hsg quèc gia líp 12 THPT N¨m häc : 2009 - 2010 §Ò chÝnh thøc M«n : to¸n (vßng 1) Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)Bµi 1 (2,0 ®iÓm) Gi¶i hÖ ph¬ng tr×nh:  x  x 2  2 x  2  2009 y 1  1    y  y 2  2 y  2  2009 x 1  1 Bµi 2 (2,0 ®iÓm) Cho d·y sè ( un ) x¸c ®Þnh nh sau: u1  3   1 2 un1  2 un  un  2  (n  1) n 1TÝnh giíi h¹n lim  i 1 ui n  *Bµi 3 (2,0 ®iÓm) Cho p lµ sè nguyªn tè lín h¬n 3. Chøng minh r»ng n  N th× p n kh«ng thÓ lµ tæng lËp ph¬ng cña hai sè nguyªn d¬ng liªn tiÕp. KÕt luËn cßn®óng kh«ng trong trêng hîp p bÐ h¬n hoÆc b»ng 3.Bµi 4 (2,5 ®iÓm) Cho tø diÖn ABCD, gäi trung ®iÓm cña AB, CD lÇn lît lµ K, L.Chøng minh r»ng bÊt k× mÆt ph¼ng nµo qua KL ®Òu chia khèi tø diÖn nµy thµnh haiphÇn cã thÓ tÝch b»ng nhau.Bµi 5 (1,5 ®iÓm) Cho a, b, c kh«ng ©m tháa m·n a  b  c  3 . Chøng minh r»ng: a b3  1  b c3  1  c a3  1  5 hÕtHä vµ tªn: ……………………………………………………………….Sè b¸o danh: …………………………………………………………….së gd-®t qu¶ng b×nh ®Ò thi chän ®éi tuyÓn chÝnh thøc dù thi hsg quèc gia líp 12 THPT N¨m häc : 2009 - 2010 §Ò chÝnh thøc M«n : to¸n (vßng 2) Thêi gian lµm bµi: 180 phót (kh«ng kÓ thêi gian giao ®Ò)Bµi 1 (2,0 ®iÓm) Gi¶i ph¬ng tr×nh: 2010 x 4  x 4 x 2  2010  x 2  2010. 2009Bµi 2 (2,0 ®iÓm) T×m tÊt c¶ c¸c hµm sè f : R  R sao cho f ( x 2  y 2 )  ( x  y )( f ( x )  f ( y )), x  R .Bµi 3 (1,5 ®iÓm) Cho P ( x ) lµ ®a thøc bËc 7 cã hÖ sè nguyªn vµ nhËn gi¸ trÞ b»ng1991 víi 4 gi¸ trÞ nguyªn kh¸c nhau cña biÕn x . Chøng minh r»ng ph¬ng tr×nhP( x )  2010 kh«ng cã nghiÖm nguyªn.Bµi 4 (2,5 ®iÓm) Cho tø gi¸c låi ABCD. LÊy ®iÓm M bÊt kú trªn ®êng chÐo AC.§êng th¼ng qua M song song víi AB c¾t BC t¹i P. §êng th¼ng qua M song songvíi CD c¾t AD t¹i Q. Chøng minh r»ng: 1 1 1 2 2   . MP  MQ AB CD 2 2§¼ng thøc x¶y ra khi nµo?Bµi 5 (2,0 ®iÓm) Víi mçi sè nguyªn d¬ng n, tam gi¸c ®Òu ABC cã ®é dµi c¹nhb»ng n ®îc chia thµnh n2 tam gi¸c ®Òu («) cã ®é dµi c¹nh b»ng 1 bëi c¸c ®êngth¼ng song song víi c¸c c¹nh cña tam gi¸c ABC. Gäi ®êng ®i lµ mét ®êng gÊpkhóc xuÊt ph¸t tõ t©m cña « chøa ®Ønh A vµ lu«n ®i qua t©m cña « cã c¹nh chung víi« ®ang ®øng, ®ång thêi kh«ng ®i qua « nµo hai lÇn. T×m sè n bÐ nhÊt ®Ó trong tamgi¸c ®Òu ABC cã ®êng ®i qua 1981 «. hÕtHä vµ tªn: ……………………………………………………………….Sè b¸o danh: …………………………………………………………….