Đề thi học sinh giỏi quốc gia Toán học 12 (2009 - 2010) - Sở GD&ĐT Nghệ An

Nhằm giúp các bạn học sinh có tài liệu ôn tập những kiến thức cơ bản, kỹ năng giải các bài tập Toán nhanh nhất và chuẩn bị cho kì thi sắp tới tốt hơn. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán học lớp 12 quốc gia năm 2009 - 2010 của Sở giáo dục và đào tạo Nghệ An.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi quốc gia Toán học 12 (2009 - 2010) - Sở GD&ĐT Nghệ AnSỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 §Ò chÝnh thøc Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 03/11/2009Câu 1. (4,0 điểm) y x2 4x Giải hệ phương trình z y2 4y x z2 4 z.Câu 2. (4,0 điểm) Cho hai dãy số an và bn được xác định như sau: 1 n n n * an + ... và bn an 1 an với n ( trong đó x là phần n 1 2 n nguyên của số thực x ). Chứng minh rằng dãy số bn có vô số số hạng dương và vô số số hạng âm.Câu 3. (4,0 điểm) Cho đa thức với hệ số thực P( x) an x n an 1x n 1 ... a1x a0 có n nghiệm 2k 1 2 thực phân biệt. Chứng minh rằng ak 1.ak 1 .ak , k 1;2;...; n 1 . 2k 2Câu 4. (4,0 điểm) Cho tam giác nhọn ABC ( AB AC ) có các đường cao AD, BE và CF . Gọi P giao điểm của hai đường thẳng EF và BC . Kẻ đường thẳng d đi qua điểm D và song song với đường thẳng EF . Đường thẳng d cắt hai đường thẳng AB và AC lần lượt tại hai điểm Q và R . Chứng minh rằng đường tròn ngoại tiếp tam giác PQR đi qua trung điểm của cạnh BC.Câu 5. (4,0 điểm) Gọi Sn là tập hợp tất cả các hoán vị (a1 , a2 ,..., an ) của tập hợp 1, 2,..., n sao cho trong mỗi hoán vị có đúng một phần tử lớn hơn tất cả các phần tử đứng trước nó. Tìm số phần tử của tập hợp Sn và tính giá trị trung bình cộng của các số a1 trong các hoán vị thuộc tập hợp S n . -----------Hết----------- Họ và tên: ..........................................................................................................Số báo danh:....................... SỞ GD&ĐT NGHỆ AN KÌ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN DỰ THI HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2009 - 2010 §Ò chÝnh thøc Môn thi: TOÁN Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi: 04/11/2009Câu 1. (4,0 điểm) Cho dãy số pn là dãy tất cả các số nguyên tố thoả mãn p1 2 và * pn pn 1 , n . Đặt Sn p1 p2 ... pn . Chứng minh rằng với mỗi số tự nhiên n 1 luôn tồn tại số tự nhiên m sao cho Sn m2 S n 1.Câu 2. (4,0 điểm) Cho ba số thực dương thay đổi x, y và z thoả mãn xyz 1. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức P x3 y 3 y3z3 z 3 x3 6( x y z ).Câu 3. (4,0 điểm) Tìm tất cả các hàm số f : sao cho f ( xf ( y ) f ( x)) 2 f ( x) xy, x, y .Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình thang ABCD có AB không song song với CD . Đường tròn (O1 ) đi qua hai điểm A, B và tiếp xúc với đường thẳng CD tại M , đường tròn (O2 ) đi qua hai điểm C , D và tiếp xúc với đường thẳng AB tại N . Hai đường tròn (O1 ) và (O2 ) cắt nhau tại E và F . Gọi I là trung điểm MN . Chứng minh rằng ba điểm E , F và I thẳng hàng.Câu 5. (4,0 điểm) Cho hai số tự nhiên k và n thoả mãn 1 k n. Lấy tất cả các tập con có k phần tử của tập hợp 1;2;...; n . Mỗi tập con này đều có phần tử nhỏ nhất và phần tử lớn nhất. Gọi a là trung bình cộng của các phần tử nhỏ nhất và b là trung bình cộng của các phần tử lớn nhất. Chứng minh rằng b ka. ----------Hết---------- Họ và tên: ..........................................................................................................Số báo danh:.......................