ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TÌNH KHỐI 12 NĂM HỌC 2006 - 2007 TỈNH THỪA THIÊN HUẾ

Tham khảo đề thi - kiểm tra đề thi học sinh giỏi tình khối 12 năm học 2006 - 2007 tỉnh thừa thiên huế, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI HỌC SINH GIỎI TÌNH KHỐI 12 NĂM HỌC 2006 - 2007 TỈNH THỪA THIÊN HUẾSë Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 §Ò thi chÝnh thøc Moân : TOAÙN ( Voøng 1) Thôøi gian laøm baøi : 150 phuùt BAØI 1:(5 ñieåm) Vôùi caùc tham soá thöïc m, p (m ≠ 0), xeùt caùc ñoà thò : x2 − m2 (Hm ) : y = vaø (Cp) : y = x 3 − (2 p − 1) x . x a/ Tìm ñieàu kieän cuûa m vaø p ñeå caùc ñoà thò (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau . b/ Chöùng toû raèng khi caùc ñoà thò (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau thì tieáp ñieåm cuûa chuùngnaèm treân ñoà thò : y = x - x3 BAØI 2:(3 ñieåm) Chöùng minh raèng tam giaùc ABC coù ít nhaát moät goùc baèng 450 khi vaø chæ khi : 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 . BAØI 3 :(6 ñieåm) Treân maët phaúng, xeùt moät hình vuoâng ABCD vaø moät tam giaùc ñeàu EFG caét nhau taïothaønh moät thaát giaùc loài MBNPQRS ôû hình döôùi G Q P D C R N E S B M A F a/ Chöùng minh raèng : “ Neáu SM = NP = QR thì MB = PQ vaø BN = RS ”. b/ Chöùng minh raèng : “ Neáu MB = PQ vaø BN = RS thì SM = NP = QR ” . BAØI 4:(6 ñieåm) Xeùt caùc soá thöïc thay ñoåi x,y thoûa ñieàu kieän : x2 - xy + y2 = 3 . a/ Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa T = x2y - xy2 . b/ Tìm taát caû caùc caëp (x; y) ñeå T ñaït giaù trò nhoû nhaát . ------------- Heát ---------------Së Gi¸o dôc vµ §µo t¹o Kú thi chän häc sinh giái tØnh Thõa Thiªn HuÕ Khèi 12 THPT - N¨m häc 2006-2007 §Ò thi chÝnh thøc Moân : TOAÙN ( Voøng 1) ÑAÙP AÙN - THANG ÑIEÅMBAØI 1 NOÄI DUNG ÑIEÅMCaâu a (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau khi vaø chæ khi heä sau coù nghieäm: 1(3ñ)  x2 − m2 = x 3 − (2 p − 1) x  x  2  1 + m = 3 x 2 − (2 p − 1)   x2 0,5  x 2 − m 2 = x 4 − (2 p − 1) x 2 (x ≠0) ⇔ 2  x + m = 3 x − (2 p − 1) x 2 4 2 0,5  x4 = m2 . Vôùi m ≠ 0 thì x ≠ 0 . ⇔ 2 m = px 2 0,5  x2 = m (m ≠ 0 ) ⇔ 2 m = p m 0,5 Ñieàu kieän ñeå (Hm ) vaø(Cp) tieáp xuùc nhau : p = m (m ≠ 0 ) .Caâu b 1 x2 − m2 Toïa ñoä cuûa tieáp ñieåm thoûa : x4 = m2 vaø y = (m ≠ 0 )(2ñ) x 1 x2 − x4 = x - x3. Tieáp ñieåm ôû treân ñoà thò: y = x - x3 Do ñoù : y = xBAØI 2 NOÄI DUNG ÑIEÅM 0(3ñ) Cho tam giaùc ABC coù goùc baèng45 chöùng toû: 1 2(sinA.sinB.sinC - cosA.cosB.cosC) = 1 (1) Chaúng haïn A= 450,veá traùi cuûa (1) baèng : 2 (sinB.sinC-cosB.cosC)= - 2 cos(B+C)= 2 cosA=1 Giaû söû (1) ñuùng .Ta co:ù 1,5 (1) ⇔ sinA[cos(B-C) -cos(B+C)] -cosA[cos(B-C) +cos(B+C)] = 1 ⇔ cos(B-C)[sinA-cosA]+sinAcosA +cos2A = 1 ⇔ (sinA-cosA)[cos(B-C) -sinA] = 0 ⇔ 2 sin(A-450)[cos(B-C) -cos(900-(B+C))] = 0 ⇔ sin(A-450)sin(B-450)sin(C-450) = 0 (2) Do A,B,C laø goùc tam giaùc neân töø (2) suy ra tam giaùc ABC coù goùc 0,5 baèng 450BAØI 3 NOÄI DUNG ÑIEÅMCaâu a Choïn heä truïc Axy nhö hình veõ : 1 y(3ñ) Goïi a laø caïnh hình vuoâng ABCD . G A(0,0) , B(a,0), C(a,a), D(0,a) M(m,0), N(a,n) ,P(p,a),Q(q,a),R(0,r), S(0,s). ...