Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Kèm đáp án

Kì thi học sinh giỏi là kì thi quan trọng đối với mỗi học sinh. Dưới đây là đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 giúp các em kiểm tra lại đánh giá kiến thức của mình và có thêm thời gian chuẩn bị ôn tập cho kì thi sắp tới được tốt hơn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Kèm đáp ánSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI LỚP 12 LONG AN CẤP TỈNH VÒNG 2 ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN THI : TOÁN NGÀY THI : 10/11/2011 THỜI GIAN : 180 phút (không kể phát đề )Bài 1 (4điểm) 3xa) Giải phương trình: x  1 x2  1 a3  b3 b3  c3 c3  a 3b) Cho ba số thực dương a, b, c .Chứng minh:    abc b2  c2 c 2  a2 a2  b2Bài 2 (5 điểm)  x1  1  *Cho dãy số thực  xn  với  3x n  4 ( n  N )  xn1  x  1  nXét các dãy số thực  un  với un  x2 n1  n  N *  và  vn  với vn  x2n  n  N * a) Chứng minh các dãy số  un  ,  vn  có giới hạn hữu hạn khi n  b) Chứng minh các dãy số  xn  có giới hạn hữu hạn khi n   và tìm giới hạn đó.Bài 3 (5 điểm)a) Cho tam giác ABC có G, H , O lần lượt là trọng tâm, trực tâm, tâm đường tròn ngoại tiếp.  Gọi K là điểm sao cho HK  3HG .Gọi G1 , G2 , G3 lần lượt là trọng tâm các tam giác KBC , KCA, KAB .Chứng minh: G1 A, G2 B, G3C đồng quy và G1 A  G2 B  G3C .b) Trong mặt phẳng cho ngũ giác đều ABCDE nội tiếp đường tròn tâm O bán kính R và điểmM tùy ý.Tìm vị trí của M để MA  MB  MC  MD  ME ngắn nhất.Bài 4 (3điểm)Chứng minh rằng không tồn tại các số nguyên x, y , z sao cho: x 2012  2009 y 2012  2011  2012 z 2010Bài 5 (3 điểm)Trên mặt phẳng cho 2011 điểm sao cho với ba điểm bất kỳ trong số các điểm đó ta luôn tìmđược hai điểm để đoạn thẳng được tạo thành có độ dài bé hơn 1.Chứng minh luôn tồn tại mộthình tròn bán kính 1 chứa không ít hơn 1006 điểm đã cho. HẾT (Thí sinh không được sử dụng tàiliệu-Giám thị không giải thích gì thêm) Họ và tên thí sinh………………………………..Số báo danh………………… Giám thị 1 (ký,ghi rõ họ và tên) Giám thị 2 (ký,ghi rõ họ và tên) Đại học Quốc gia Tp Hồ Chí Minh Trường Phổ Thông Năng Khiếu Đề thi chọn HSG đội tuyển ToánBài 1. a) Chứng minh rằng tồn tại số n chẵn, n > 2008 sao cho 2009.n – 49 là số chính phương. b) Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên m sao cho 2009. m – 147 là số chính phương.Bài 2. Cho số nguyên dương n. Có bao nhiêu số chia hết cho 3, có n chữ số và các chữ sốđều thuộc {3, 4, 5, 6} ?Bài 3. Cho tam giác ABC có đỉnh A cố định và B, C thay đổi trên đường thẳng d cố địnhsao cho nếu gọi A’ là hính chiếu của A lên d thì AB. AC âm và không đổi. Gọi M là hìnhchiếu của A’ lên AB. a) Chứng minh rằng tâm I đường tròn ngoại tiếp tam giác BMC thuộc một đường thẳng cố định. b) Gọi N là hình chiếu của A’ lên AC, K là giao điểm của các tiếp tuyến của đường tròn ngoại tiếp tam giác A’MN tại M và N. Chứng minh rằng K thuộc một đường thẳng cố định.Bài 4. Cho f  x   x 2  ax  b . Biết phương trình f  f  x    0 có 4 nghiệm phân biệt x1 , x2 , x3 , x4 và x1  x2  1 . Chứng minh rằng b   4Bài 5. Cho . Biết . Chứngminh rằng là số chính phương.Bài 6. a) Cho . Chứng minh bất đẳng thức: b) Chứng minh rằng tồn tại để: ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH HẢI DƯƠNG Thời gian làm bài :180 phútCâu 1 (4 điểm )Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiệnCâu 2 (4 điểm)Cho dãy số thỏa mãn :Tìm giới hạn của dãy (nếu có ) tùy theoCâu 3 (3 điểm)Cho tứ giác lồi .Gọi lần lượt là hình chiếu vuông góc củamột điểmtrong tứ giác xuống các cạnh ; mặt khác cùngnằm trên một đường tròntâm bán kính .Kẻ lần lượt vuông góc với các đường thẳng .Chứng minh rằng đồng qui tại một điểm.Câu 4 (3 điểm)Cho là số nguyên tố không nhỏ hơn .Chứng minh rằng tồn tại hai sốnguyên tốsao cho đồng thời không chia hết choCâu 5 ( 3 điểm)Tìm sao cho bất đẳng thức sau đúng với mọi :Câu 6 (3 điểm) www.VNMATH.com ̉ ́ ̀SƠ GIAO DỤC VÀ ĐAO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎITHÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN ...