Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2012-2013 - Sở GDĐT TP. HCM

Đề thi học sinh giỏi môn Toan lớp 12 năm 2012 - 2013 của sở giáo dục và đào tạo TP.HCM dành cho các bạn học sinh lớp 12 giúp các em ôn tập lại kiến thức đã học và đồng thời giáo viên cũng có thêm tư liệu tham khảo trong việc ra đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 năm 2012-2013 - Sở GDĐT TP. HCM www.VNMATH.com ̉ ́ ̀SƠ GIAO DỤC VÀ ĐAO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎITHÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH LỚP 12 THPT NĂM HỌC 2012-2013 MÔN THI: TOÁN Ngày thi: 18 - 10 - 2012ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút.Bài 1. (4 điểm)  xy  x  y  1 Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  9 x   y  6 y  7 2 3Bài 2. (4 điểm)  1 u1  2  Cho dãy số (un ) xác định bởi  3u  4 un 1  n , n  N *   2un  1 Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.Bài 3. (4 điểm) 1 1 1 Cho x, y, z là các số dương thỏa mãn    1 . Chứng minh: x y z x  yz  y  zx  z  xy  xyz  x  y  zBài 4. (4 điểm) Cho tam giác nhọn ABC với các đường cao AH , BK nội tiếp đường tròn (O). Gọi M là một điểm di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) sao cho các đường thẳng AM và BK cắt nhau tại E ; các đường thẳng BM và AH cắt nhau tại F . Chứng minh rằng khi M di động trên cung nhỏ BC của đường tròn (O) thì trung điểm của đoạn EF luôn nằm trên một đường thẳng cố định.Bài 5. (4 điểm) Tìm tất cả các đa thức P( x ) hệ số thực thỏa mãn : P( x).P( x  3)  P( x 2 ), x  HẾT www.VNMATH.com ĐÁP ÁN ĐỀ VÒNG 1Bài 1. (4 điểm)  xy  x  y  1 Giải hệ phương trình  3 4 x  12 x  9 x   y  6 y  7 2 3Giải  yz  z  2Đặt z  x  1 Hệ phương trình tương đương  3  y  3 y ( z  2)  4 z  0 3  yz  z  2  yz  z  2 3   y  3y z  4z  0  y   z  y  2z 2 3  1  17  1  17  5  17  5  17 z  z  x  x   4  4  4  4     y  1  17  y  1  17  y  1  17  y  1  17   2   2   2   2Bài 2. (4 điểm)  1 u1  2  Cho dãy số (un ) xác định bởi  3u  4 un 1  n , n  N *   2un  1 Chứng minh dãy số (un ) có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó.GiảiTừ giả thiết ta suy ra un  0, n  N * 3x  4 3 5 5Xét f ( x )    , với x  0 , f ( x )   0, x  0 2 x  1 2 2(2 x  1) (2 x  1)2  1 u1 Ta có  2 un 1  f (un ), n  N *  3 5xf ( x)  , x  0 và f ( x )  4   0, x  0 2 2x  1 3  un  4, n  2  dãy (un ) bị chặn 2  x  u2 n 1Đặt  n  yn  u2 nDo f(x) nghịch biến trên (0; ) nên g(x) = f(f(x)) đồng biến trên (0; ) f ( xn )  f (u2n1 )  u2 n  yn ; f ( yn )  f (u 2n )  u 2n 1  xn 1g ( xn )  f ( f ( xn ))  f ( yn )  xn1 1 11 49u1  ; u2  ; u3  ….. Ta thấy u1  u3  x1  x2 2 4 26Giả sử rằng xk  xk 1  g ( xk )  g ( xk 1 )  xk 1  xk 2 . Vậy xn  xn1 , n  N *Suy ra ( xn ) tăng và bị chặn trên  ( xn ) có giới hạn hữu hạn a .Do xn  xn1  f ( xn )  f ( xn1 )  yn  yn1  dãy ( yn ) giảm và bị chặn d ...