Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Sở GD&ĐT Nam Định

Để giúp các bạn có thêm phần tự tin cho kì thi học sinh giỏi sắp tới và đạt kết quả cao. Dưới đây là đề thi học sinh giỏi môn Toán lớp 12 của sở giáo dục và đào tạo Nam Định mời các bạn tham khảo. Chúc các em thi tốt!
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi Toán 12 - Sở GD&ĐT Nam Định S Giáo d c − ðào t o Kì thi h c sinh gi i l p 12 THPT chuyên Nam ð nh Năm h c 2008 − 2009 ð CHÍNH TH C Môn: Toán − Ngày th nh t Th i gian làm bài: 180 phútBài 1 (4 ñi m):CMR trong 4 s th c dương không nh hơn 1 luôn t n t i 2 s a;b th a mãn (a 2 − 1)(b 2 − 1) + 1 3 ≥ ab 2Bài 2 (5 ñi m): x2 + y2 + 6Cho x;y là các s nguyên dương th a mãn ∈Z xy x2 + y2 + 6Tìm t t c các c p s (x;y) ñ là l p phương c a 1 s t nhiên. xyBài 3 (2 ñi m):Tìm t t c các hàm s f : R → R th a mãn ñ ng th i 2 ñi u ki n sau v i m i c ps th c x;y: x  1 i) f(x) ≥ e 2009x v i e = lim 1 +  x →∞  x ii) f(x+y) ≥ f(x).f(y)Bài 4 (5 ñi m):Cho t giác l i ABCD có di n tích là S. ð t AB = a, BC = b, CD = c, DA = d.CMR 13a 2 + 6b 2 − c 2 + 2d 2 ≥ 4S 2Bài 5 (4 ñi m):Cho dãy s {xn} xác ñ nh b i: x0 = 0 xn −1 v i m i n = 1;2;3;… xn = 2008 + (−1) nCMR dãy s {xn2} có gi i h n h u h n và tính lim xn . 2 x →+∞ H t S Giáo d c − ðào t o Kì thi h c sinh gi i l p 12 THPT chuyên Nam ð nh Năm h c 2008 − 2009 ð CHÍNH TH C Môn: Toán − Ngày th hai Th i gian làm bài: 180 phútBài 1 (2 ñi m):Cho a;b;c các s th c dương th a mãn a+b+c = 1. ab bc ca 3CMR: + + ≤ c + ab a + bc b + ca 2Bài 2 (5 ñi m):Gi i h phương trình v i n x;y;z dương: z 2 + 2 xyz = 1 2 23 x y + 3 y x = 1 + x y 2 3 4 z + zy 4 + 4 y 3 = 4 y + 6 y 2 zBài 3 (4 ñi m):Cho các s th c a;b;c;d;e. CMR n u phương trình ax2+(b+c)x+d+e = 0 cónghi m th c thu c kho ng [1;+∞) thì phương trình ax4+bx3+cx2+dx+e = 0 cónghi m th c.Bài 4 (5 ñi m):Tìm t t c các hàm s f : ℝ + → ℝ tăng và th a mãn ñi u ki n f(x+1) = f(x) + 2−xv i m i s th c dương x.Bài 5 (4 ñi m):Cho tam giác cân ABC có AB = AC. Trên c nh BC l y ñi m D sao cho BD =2DC. Gi s P là ñi m trên ño n AD sao cho ∠ BAC = ∠ BPD.Ch ng minh r ng ∠ BAC = 2 ∠ DPC H t