Đề thi học sinh giỏi Toán - Sở GD&ĐT Hậu Giang

Giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Hãy tham khảo đề thi học sinh giỏi môn Toán của sở giáo dục và đào tạo Hậu Giang kèm đáp án.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi Toán - Sở GD&ĐT Hậu GiangSÔÛ GIAÙO DUÏC ÑAØO TAÏO HAÄU GIANG ÑEÀ THI HS GIỎI ÑBSCL MOÂN TOAÙN (ĐỀ NGHỊ)BAØI 1 (soá hoïc )Cho a, b  Z . Chöùng minh raèng :Neáu 24a2 + 1 = b2 thì moät vaø chæ moät trong caùc soá a vaø b chia heát cho 5.BAØI 2 (Ñaïi soá)Tìm giaù trò nhoû nhaát cuûa haøm soá :f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006, xIR.BAØI 3 (Hình hoïc phaúng)Cho tam giaùc ABC. Treân caïnh AB laáy ñieåm M di ñoäng, treân caïnh AC laáyñieåm N di ñoäng sao cho 1 1 1   (khoâng ñoåi). AM AN lChöùng minh raèng ñöôøng thaúng MN ñi qua moät ñieåm coá ñònh.BAØI 4 (Hình hoïc khoâng gian)Trong maët phaúng (P) cho tam giaùc ABC nhoïn. Treân ñöôøng thaúng d vuoânggoùc vôùi maët phaúng (P) taïi A laáy ñieåm S di ñoäng, goïi K vaø H laàn löôït laøhình chieáu vuoâng goùc cuûa B leân AC vaø SC, ñöôøng thaúng l ñi qua K vaø Hcaét ñöôøng thaúng d taïi N. Ñònh ñieåm S treân d sao cho ñoaïn SN ngaén nhaát.BAØI 5 (daõy soá) f (1). f (3)... f (2n  1)Cho daõy un nN vaø un  * , n  1; 2;3;... f (2). f (4)... f (2n)Trong ñoù : f(n) = (n2 + n + 1)2 + 1 2Chöùng minh raèng : lim n un  n  2 ÑAÙP AÙNBaøi 1 : a  5  Neáu  , b  5 khi ñoù töø ñaúng thöùc : 24a2 + 1 = b2  1 = b2 - 24a2 chia heát cho 5 => 1 chia heát cho 5, voâ lyù.  a  5 (a,5)  1  Neáu     b  5 (b,5)  1 Khi ñoù : a4  1 (mod 5) (Ñònh lyù Fermat) b4  1 (mod 5) => a4 - b4  0 (mod 5)  a 2  b 2  0 (mod 5)  2 2  a  b  0 (mod 5) - Xeùt a2 + b2  0 (mod 5) Töø ñaúng thöùc 24a 2 + 1 = b2 Û 25a 2 + 1 = (a 2 + b2 )5 Þ (25a 2 + 1) 5 voâlyù. - Xeùt a2 - b2  0 (mod 5) Töø ñaúng thöùc 24a 2 + 1 = b2 Û 23a 2 + 1 = (b2 - a 2 )5 Þ (23a 2 + 1) 5  23a 2 + 1  0(mod5) , voâ lyù. (Vì do (a,5)=1 => a  ± 1 ; ± 2 (mod 5))  a2  1 ; 4 (mod 5) => 23a2 + 1  3 hoaëc 4 (mod 5)Vaäy Neáu a,b  Z thoûa ñaúng thöùc 24a2 + 1 = b2 thì moät vaø chæ moät trongcaùc soá a vaø b seõ chia heát cho 5.BAØI 2 f(x) = 20x144 – 1.x120 + 2006 1 1 1 = 2.x144 + 2.x144 +...+2.x144 + 5 6 + 5 6 - x120 + 2006 - 4 6 2 .12 2 .12 2 .12 10 soá haïng 12 soá haïng 1  1 f ( x)  1212 210.x10.144 .  x120   2006  4 6   2 .12  10 12 2 .12 (Cosi)  1  1f ( x)  x120  x120   2006  4 6   2006  4 6  2 .12  2 .12 1 1 f ( x)  2006  4 6  2.x144  5 6 2 .12 2 .12 1 1 x144   x   24 (do x  R ) 246 24BAØI 3 :Keû ñöôøng phaân giaùc trong cuûa BAÂC laøAt. Do A,B,C coá ñònh => At coá ñònh.Goïi I laø giao ñieåm cuûa At vôùi MN.Ta coù : SAMN = SAMI + SANI 1 1 A 1 A AM . AN .sin A  AM . AIsin  AN . AI sin 2 2 2 2 2  A 1 1 1 1 2  cos  .    (khoâng ñoåi)  2  AI AM AN l A AI  2l cos (khoâng ñoåi) 2=> I coá ñònh vaø I  MNVaäy ñöôøng thaúng MN qua 1 ñieåûm coá ñònh I.BAØI 4 :Trong SCN coù AC laø ñöôøng cao thöùnhaát. SC  BK Maët khaùc ta coù :   SC  ( BHK ) SC  BH  SC  KH  NH laø ñöôøng cao thöù hai=> K laø tröïc taâm cuûa SCN.Ta coù AN AK D ANK  D ACS Þ = Û AS . AN = AK . AC AC AS (khoâng ñoåi)Vì SN  SA  AN  2 SA. AN  2 AK. AC (khoâng ñoåi) SN min  2 AK . AC SA  AN  AK . ACVaäy ñieåm S naèm treân d (coá ñònh) caùch A (coá ñònh) baèng : SA  AK .ACBAØI 5 : Ta coù : f (n)  (n 2  n  1) 2  1 2  (n 2  1)  n   1     n 2  1  2n  n 2  1  n 2  1 2   n 2  1 n 2  2n  2  f (2i - 1) (4i - 4i + 2)(4i + 1) (2i - 1) + 1 2 2 2Khi ñoù : = = f (2i) (4i 2 + 4i + 2)(4i 2 + 1) (2i + 1)2 + 1 f (1). f (3)... f (2n  1) un  f (2). f (4)... f (2n) 1  1 32  1 52  1 ...  2n  1  1 2  2   2 un  3  1 5  1 7  1 ...  2n  1  1  2n  1  1 2 2 2 2 2   1 un  2 2n  2n  1 1 n2 2 lim n un ...