Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Hà Nam

Hi vọng Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Hà Nam sẽ cung cấp những kiến thức bổ ích cho các em trong quá trình học tập nâng cao kiến thức trước khi bước vào kì thi học sinh giỏi cấp tỉnh sắp tới. Mời các em cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Hà NamSỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH HÀ NAM THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 22/09/2021 Thời gian làm bài :180 phútTên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh QuảngNgãi.Điện thoại : 0708127776  2033  x1  9Bài 1. (4,0 điểm) Cho dãy số ( xn ) thỏa mãn   x  9 x 2  11x  8, n  *  n1 2 n na) Chứng minh rằng dãy số ( xn ) là dãy số tăng. n 1b) Với mỗi số nguyên dương n, đặt un   .Tính lim un . k 1 9 x  10 kBài 2. (5,0 điểm) Cho hàm số f : *  thỏa mãn f ( x  f ( y)  x  f ( y), x, y  *a) Chứng minh rằng f ( x )  x, x  *b) Tìm tất cả các hàm số thỏa mãn điều kiện nêu trên.Bài 3. (6,0 điểm)Cho tam giác nhọn ABC nội tiếp đường tròn (O), có AB, AC. Tiếp tuyếntại B C, của đường tròn (O) cắt nhau tại P. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của CA,CB.Đường thẳng qua P song song với AO cắt OM ,ON lần lượt tại K và L.a) Gọi J là trực tâm của tam giác OKL. Chứng minh rằng đường thẳng AP đi qua trungđiểm của OJ.b) Gọi S là giao điểm thứ hai khác A của đường tròn (O) là S. Chứng minh rằng đườngtròn ngoại tiếp tam giác SMN tiếp xúc với đường tròn (O).Bài 4. (5,0 điểm) Với X là tập hợp các số thực, kí hiệu S(X) là tổng các phần tử thuộc tậphợp X. Một tập hợp A gồm các sốnguyên dương được gọi là tập hợp “nguyên tố” nếu vớimọi tập con B khác rỗng của tập hợp A thì gcd (S(A); S(B)) =1.ước chung lớn nhất của hai số tự nhiên a b, .a) Tìm một tập hợp “nguyên tố” gồm 6 phần tử.b) Tìm tất cả các số nguyên dương n sao cho với mỗi n tồn tại a,bđể tập hợpA  (a  b)2 ,(a  2b)2 ,...,(a  nb)2  là tập hợp nguyên tố.Bổ đề. Cho tam giác ABC có trung điểm AC,AB là M,N. Gọi đường thẳng qua A song song BC cắt (O)tại P. AD là đường cao tam giác ABC. PD cắt lại (O) tại S khác P. Khi đó: (SMN) tiếp xúc (O).Bài 2 ảo v :)) nếu f(y) < 0 thì chọn x= -f(y) tồn tại a>0 để f(a)=0. Cho y=a thì f(x)=x , mâu thuẫn. :))suy ra f(y) >= 0. Suy ra f(x+f(y))= x+f(y) .Bài hình có thể giải như sau:(Thực ra thì ta có thể làm thẳng với tam giác OKL, nhưng để phục vụ cho việc định nghĩa điểm dùng trong ýb, mình sẽ làm trên tam giác ABC. Ở đây, OKL và ABC đồng dạng nghịch, mình chỉ dựng ảnh mà tương ứngthôi.)Gọi H, Q, W, T, Y là trực tâm ABC, giao của tiếp tuyến tại A của (O) với BC, trung điểm BC, OJ và AH. Cấuhình (OKL, J, P, T) và (ABC, H, Q, Y) đồng dạng nghịch. Để chỉ ra AP đi qua T, ta chỉ cần chỉ ra AP là ảnhcủa QY qua phép đồng dạng kể trên. Thật vậy: WY//OA vuông AQ nên Y là trực tâm AQW. Có (QY, QA) =(AW, AO) = (AH, AP) = (PO, PA). Hoàn tất ý a.Gọi X là trung điểm AQ. AP vuông OQ nên OAT và AQO đồng dạng thuận. Gấp đôi cạnh OT và chia đôicạnh AQ ta được OAJ và AXO đồng dạng thuận nên OX vuông AJ. Suy ra XS = XA và kết hợp việc X thuộcMN có điều phải chứng minh.