Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên

Để giúp các bạn học sinh củng cố lại phần kiến thức đã học, biết cấu trúc ra đề thi như thế nào và xem bản thân mình mất bao nhiêu thời gian để hoàn thành đề thi này. Mời các bạn cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên dưới đây để có thêm tài liệu ôn thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thái Nguyên SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THÁI NGUYÊN THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 25/09/2021 Thời gian làm bài :180 phútTên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh QuảngNgãi.Điện thoại : 0708127776Bài 1(5 điểm).Tìm tất cả hàm số f :  thỏaf ( x  y) f ( x 2  xy  y2 )  x 3  y3 , x, y Bài 2(3 điểm).Cho p là số nguyên tố lẻ và là tập hợp gồm tất cả các bộ 3 số tự nhiên(a,b,c) thỏa 1  a  b  c  p  1 .Đặt S   abc chứng minh S chia hết cho p  aSb cBài 3(5 điểm).Giả sử phương trình x 3  3 x 2  (  2) x  1  0 (với  là tham số thực,   0 )có3 nghiệm thực x1 , x2 , x3 .Với mỗi số nguyên dương n đặt Sn  x1  x2  x3 .Tìm tất cả các giá trị của  n n n k Sđể 1   k  n đúng với mọi n  * . i 1 S k 1Bài 4(5 điểm).Cho tam giác nhọn không cân ABC,AD,BE,CF là các đường cao.H,K theothứ tự là hình chiếu vuông góc của A,D trên EF.Giả sử đường tròn tâm H bán kính HA cắtAB,AC tương ứng tại M,N.a.Chứng minh các điểm cùng thuộc 1 đường tròn gọi đường tròn này là B.Giả sử KM,KN lần lượt cắt CF,BE tại P,Q.Chứng minh đường tròn ngoại tiếp tam giácKPQ tiếp xúc với đường tròn Bài 5(5 điểm).Cho A,B,C là các góc của 1 tam giác chứng minh 27 5sin A  sin 2 B  sin3 C  125dạ câu hàm em làm thế này không biết đúng ko ạ thay P(x,y)->P(x+y,-y) thì suy ra f(2x+y)/f(x-y)=(2x+y)/(x-y) tới đây thì thay x->2y-1 vào thì được f(y-1)=f(1)(y-1). Ta tính được f(1)=+-1. Bài 2. (5,0điểm)Cho n là số nguyên dương chẵn, có tổng các ước nguyên dương của nó là số lẽ. nChứng minh rằng tổng các ước chính phương (nhỏ hơn n) của n sẽ không nhỏ hơn Bài 43. (5,0 điểm)Cho tam giác ABC, gọi A1 , B1 , C1 lần lượt là các điểm đối xứng của A ,B, Cqua BC, CA, AB . Chứng minh rằng A1 , B1 , C1 thẳng hàng khi và chỉ 3khi cos A.cos B.cos C  8Bài 4. (5,0 điểm)Một quốc gia có 99 thành phố, khoảng cách giữa hai thành phố bất kìkhông vượt quá 1000 . km Hai thành phố thuộc quốc gia này được gọi là “xa nhau” nếukhoảng cách giữa chúng lớn hơn hoặc bằng 500 2 km Hỏi quốc gia này có bao nhiêu cặpthành phố xa nhau.