Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa

Mời các em tham khảo Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa nhằm giúp đánh giá năng lực, kiến thức của học sinh, từ đó có các phương pháp, định hướng học tập phù hợp, nâng cao kiến thức cho các em.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán cấp tỉnh năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Thanh Hóa SỞ GIÁO DỤC ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN HỌC SINH GIỎI CẤP TỈNH THANH HÓA THI VMO NĂM HỌC 2021-2022 MÔN TOÁN v2 ĐỀ CHÍNH THỨC Thời gian làm bài: 180 phút Ngày thi 28/09/2021 Thời gian làm bài :180 phútTên : Trương Quang An .Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh QuảngNgãi.Điện thoại : 0708127776Bài 1.(7đ).a.Cho dãy số  an  xác định bởi a1  3, a2  7, an2  3an1  an , n  * với.Tìm n 1lim  k 1 a a i i 1b.Cho dãy số  un  ; u1  2, un  3un1  2n  9n  9n  3, n  *, n  2 chứng minh với mọi số 3 2 p 1nguyên tố lẻ p thì  u chia hết cho i 1 iBài 2.(7đ).Tìm tất cả các hàm f ;  thỏa ( y  1) f ( x )  f ( x. f ( y)  f ( x  y))  y, x, y Bài 3.(7đ).Cho tam giác không cân ABC trung tuyến AM và các đường caoBB1 , CC1 ( B1  AC, C1  AB) .Đường thẳng qua A vuông góc AM cắtBB1 , CC1 ( B1  AC, C1  AB) lần lượt tại E và F.Gọi (k) là đường tròn ngoại tiếp tam giác EFM.Giả sử k1  ,  k2  là đường tròn tiếp xúc EF đồng thời tiếp xúc cung EF không chứa M của (k)1)Chứng minh AE=AF2)Chứng minh nếu  k1  ,  k2  cắt tại P,Q thì P,M,Q thẳng hàng.Bài 4.(7đ).Xét dãy số gồm 2021 số 1,2,3,..,20211.Mỗi lần lấy ra hai số liền kề nhau bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấynhưng theo chiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhậnđược dãy viết theo thứ tự ngược lại 2021;2020;...2;1 hay không?2.Mỗi lần lấy ra 10 số hạng bất kỳ của dãy rồi xếp chúng vào các vị trí vừa lấy nhưng theochiều ngược lại.Hỏi sau 1 số lẻ lần thực hiện liên tiếp như vậy,ta có thể nhận được dãy viếttheo thứ tự 1,2,3,..,2021 như ban đầu hay không?Bài 5(6đ).Giả sử P(x) là 1 đa thức hệ số thực thỏa mãn tính chất với mọi số thực x,y thì x 2  P( y)  2 y khi và chỉ khi y2  P( x )  2 x .Chứng minh x=0 không phải là nghiệm của phươngtrình P(x)=0Bài 6(7đ).Cho p số nguyên tố >3 ,n là số nguyên dương sao cho các số p-1,p,n,n+1 từng đôi một khôngcó ước số chung > 2.Tìm số nguyên dương x,y thỏa x  x  ...  x  2  y p 1 p 2 n 1Bài 7.(7đ).Cho tam giác ABC nhon AB EMF câncâu b : gọi tiếp điểm của (K1) và (K2) lên EF là G,I, dùng bổ để archimedes => DG HI đồng quy tại Mmà MF² = MG.MD=MI.MH => M thuộc trục đẳng phương của (K1) và (K2) nên có dpcm