Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp

Các bạn cùng tham khảo Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp, tư liệu này sẽ giúp các bạn ôn tập lại kiến thức đã học, có cơ hội đánh giá lại năng lực của mình trước kỳ thi học sinh giỏi sắp tới. Chúc các bạn thành công.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi học sinh giỏi VMO môn Toán Quốc gia năm 2021-2022 - Sở GD&ĐT Đồng Tháp SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI HSG QUỐC GIA ĐỒNG THÁP NĂM HỌC 2021 - 2022 Đề chính thức Môn: TOÁN ( CHUYÊN) (15/9/2021) Thời gian làm bài: 150 phút (không kể thời gian phát đề) Tên: TRƢƠNG QUANG AN Địa chỉ : Xã Nghĩa Thắng ,Huyện Tư Nghĩa ,Tỉnh Quảng Ngãi Điện thoại : 0353276871.Bài 1: Cho các số thực x,y,z thỏa mãn x  y  z  1, x3  y3  z 3  11 a) Biểu diễn zx theo y b) Chứng minh rằng trong 3 số x,y,z có ít nhất 1 số thuộc đoạn [−2,−1] b cBài 2: Cho a,b,c là các số nguyên dương, trong đó a,b nguyên tố cùng nhau và  c alà số nguyên. Chứng minh rằng a là số chính phương  a0  1, a1  13Bài 3: Cho dãy số (an )n được xác định như sau  an  2  14an 1  an , n  N a) Chứng minh rằng 2an  1 là số chính phương với mọi số tự nhiên n b) Chứng minh rằng an luôn được viết dưới dạng tổng bình phương của 2 số tựnhiên với mọi số tự nhiên nBài 4: Tìm tất cả hàm số lẻ f :  thỏa mãn f ( f ( x)  y)  2 x  f ( x  f ( y)), x, y  .Bài 5: Cho hai đường tròn (O1 , R1 ),(O2 , R2 ) cắt nhau tại A,B sao cho tamgiác AO1O2 vuông tại A. Tia O1O2 cắt đường tròn (O2 ) tại E,F và cắt đườngtròn (O1 ) tại D. Điểm M thay đổi trên đường tròn (O1 ) và không thuộc đườngthẳng O1O2 . Kẻ đường kính MP của (O1 ) .Tia MO2 cắt đường tròn (O1 ) tại điểm thứ 2là NN. Tia O2 P cắt đường tròn (O1 ) tại điểm thứ 2 là Q. Chứng minh rằng : a) MD là phân giác của góc EMF b) MP,NQ,AB đồng quy hoặc đôi một song song c) NQ luôn đi qua 1 điểm cố địnhBài 6: Có 2021 viên bi, đựng trong 100 cái hộp. Mỗi lần, cho phép lấy 2 viên bi, 2viên bi đó thuộc vào tối đa 2 hộp và bỏ chúng vào 1 hộp khác. Chứng minh rằng saumột số bước có thể bỏ tất cả các viên bi vào cùng 1 hộp.