Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa

Nhằm giúp các bạn làm tốt các bài tập, đồng thời các bạn sẽ không bị bỡ ngỡ với các dạng bài tập chưa từng gặp, hãy tham khảo Đề thi HSG môn Toán lớp 12 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa dưới đây.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi HSG môn Toán lớp 12 năm 2019-2020 - Sở GD&ĐT Khánh Hòa SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN KHÁNH HÒA THI HSG THPT CẤP QUỐC GIA NĂM 2020 Môn thi: TOÁN (Vòng 1) ĐỀ THI CHÍNH THỨC Ngày thi: 19/9/2019 (Đề thi có 01 trang) Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)Bài 1. (4,0 điểm)  3 3 x  4x  2  y  4  4 6  2 y   3Giải hệ phương trình:  y 3  4 y  2   4 6  2 z ( x, y, z  ).  z  4  3 3 z  4z  2  x  4  4 6  2x Bài 2. (6,0 điểm)a) Chứng minh rằng với mỗi số nguyên dương n, tồn tại duy nhất một cặp số nguyên dương  a; b  1sao cho n  (a  b  1)(a  b  2)  a. 2 1b) Cho dãy số  un  xác định bởi u1  5 , un 1  un  với mọi n  1. unTìm phần nguyên của u209 .Bài 3. (4,0 điểm)Một nhóm phượt có n thành viên. Năm 2018, họ thực hiện sáu chuyến du lịch mà mỗi chuyến cóđúng 5 thành viên tham gia. Biết rằng hai chuyến du lịch bất kì chung nhau không quá 2 thành viên.Tìm giá trị nhỏ nhất của n.Bài 4. (4,0 điểm)Cho tam giác ABC nhọn không cân có đường trung tuyến AM và đường phân giác trong AD. Quađiểm N thuộc đoạn thẳng AD (N không trùng với A và D), kẻ NP vuông góc với AB (P thuộc cạnhAB). Đường thẳng qua P vuông góc với AD cắt đoạn thẳng AM tại Q. Chứng minh rằng QN vuônggóc với BC.Bài 5. (2,0 điểm)Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn xy  yz  zx  xyz ( x  y  z ). 1 1 1Chứng minh rằng    1. 2x 1 2 y 1 2z 1 --------------- HẾT ---------------SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KHÁNH HOÀ GIẢI ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HỌC SINH GIỎI QUỐC GIA NĂM HỌC 2019 – 2020 MÔN THI: TOÁN (ngày 1) Thời gian: 180 phút (Không kể thời gian phát đề) ĐÈ CHÍNH THỨC  3 3 x + 4x + 2 = y − 4 + 4 6 − 2 y   3 Bài 1. (3 điểm) Giải hệ phương trình  y 3 + 4 y + 2 = + 4 6 − 2z .  z−4  3 3 z + 4z + 2 = x − 4 + 4 6 − 2x  Lời giải x ≤ 3  Điều kiện:  y ≤ 3 . z ≤ 3  3 Xét hàm f ( t ) = t 3 + 4t + 2 và g ( t ) = + 4 6 − 2t trên ( −∞;3] . t −4  f ( x) = g ( y) (1)  Hệ phương trình trở thành  f ( y ) = g ( z ) ( 2)   f ( z ) = g ( x) ( 3) Ta có f ′ ( t ) = 3t 2 + 4 > 0 ∀t ∈ ( −∞;3] ⇒ Hàm số f ( t ) = t 3 + 4t + 2 đồng biến trên ( −∞;3] . 3 4 3 g′ (t ) = − − < 0 ∀t ∈ ( −∞;3) ⇒ g ( t ) = + 4 6 − 2t nghịch biến trên (t − 4) t −4 2 6 − 2t ( −∞;3] . Không mất tính tổng quát ta giả sử x = max { x; y; z} . Khi đó ta có x ≥ y ; x ≥ z . x ≥ y (*) ⇒ f ( x ) ≥ f ( y ) (vì hàm f ( t ) đồng biến), kết hợp với hệ phương trình ⇒ g ( y ) ≥ g ( z ) (vì hàm g ( t ) nghịch biến), kết hợp hệ phương trình ⇒ y ≤ z ⇒ f ( y ) ≤ f ( z ) ⇒ g ( z ) ≤ g ( x ) ⇒ z ≥ x (**). Từ (*) và (**) ta suy ra x = z ⇒ f ( x ) = f ( z ) ⇒ g ( y ) = g ( x ...