ĐỀ THI KHẢO SÁT MÔN CHUYÊN LẦN THỨ BA Môn : Toán 10

Cho tam giác ABC có A cố định, B và C thay đổi trên đường thẳng d cố định sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A trên d thì âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ trên AB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Chứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ĐỀ THI KHẢO SÁT MÔN CHUYÊN LẦN THỨ BA Môn : Toán 10 ĐỀ THI KHẢO SÁT MÔN CHUYÊN LẦN THỨ BASở Giáo dục Đào tạo Vĩnh Phúc Năm học 2010-2011Trường THPT Chuyên Vĩnh Phúc Môn : Toán 10 (Thời gian làm bài: 180 phút )  y ( xy − 2) = 3 x 2  ( x, y ∈ R )Câu 1 (2 điểm). Giải hệ phương trình  2  y + x y + 2x = 0 2 Câu 2 (2 điểm). Cho hai số thực x, y thỏa mãn x − 3 x + 1 = 3 y + 2 − y . Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của P = x + yCâu 3 (1,5 điểm). Cho đa thức f ( x) = x2 + ax + b . Biết rằng phương trình f ( f ( x)) = 0 có 1bốn nghiệm phân biệt là x1, x2 , x3, x4 và x1 + x2 = −1. Chứng minh rằng b ≤ − . 4Câu 4 (1,5 điểm). Giả sử P( x) = ( x + 1) p ( x − 3)q = xn + a1xn−1 + a2 xn−2 + ... + an , trong đó p, q làcác số nguyên dương. Chứng minh rằng nếu a1 = a2 thì 3n là số chính phương.Câu 5 (2 điểm). a) Cho tam giác ABC có A cố định, B và C thay đ ổi trên đ ường th ẳng d c ố đ ịnh sao cho nếu gọi A’ là hình chiếu của A trên d thì A B.A C âm và không đổi. Gọi M là hình chiếu của A’ trên AB. Gọi I là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác BCM. Ch ứng minh rằng I nằm trên một đường thẳng cố định. b) Cho tam giác ABC không đều với 3 cạnh tương ứng là a,b,c thoả món a 2 = 2bc.cos A , gọi S là diện tớch tam giỏc ABC. Gọi O và G theo thứ tự là tâm đường trũn ngoại tiếp và trọng tõm tam giỏc ABC. Chứng minh rằng AG vuụng gúc với OG.Cõu 6 (1 điểm). Cho số x = 0,123456789101112...998999 là số nhận được khi viết các sốtự nhiên từ 1 đến 999 liên tiếp liền nhau. Tìm chữ số thứ 1983 sau dấu phảy. -------------------------Hết------------------------- ĐÁP ÁN ĐỀ KHẢO SÁT MÔN CHUYÊN LẦN 3Câu 1+ Nếu x=0 thỡ y=0, ngược lại nếu y=0 thỡ x=0, do đó hệ có nghiệm (x,y)=(0,0)+ Nếu xy ≠ 0 : Nhân phương trỡnh thứ hai với x rồi cộng với PT thứ nhất ta được:  xy =1  2 3 2 2 2 2 ( xy + x y + 2 x ) + ( xy − 2 y − 3 x ) = 0 ⇔ ( xy − 1)(2 y + x ) = 0 ⇔ x2   y =−  2 1 - Với xy = 1 thỡ y = , thay vào PT thứ nhất, ta được: x 1 1 1 (1 − 2) = 3 x 2 ⇔ x3 = − ⇔ x = − 3 , từ đó y = − 3 3 x 3 3 x  x3  2 2 x - Với y = − , thay vào PT thứ nhất, ta được: −  − − 2 ÷ = 3x ⇔ x = 8 ⇔ x = 2 , từ đó 2 3 2 2  2 y = −2 .   1Vậy hệ cú hai nghiệm ( x, y ) = (2, −2);  − 3 ; − 3 3 ÷.   3Câu 2: Ta có x + y = 3( x + 1 + y + 2) ; x ≥ −1, y ≥ −2Gọi G là tập giá trị của P = x + y , a ∈ G ⇔ hệ sau có nghiệm: 3( x + 1 + y + 2) = a   (I) x + y = a   a u+v=  3(u + v) = a 3  ⇔Đặt u = x + 1, v ...