Đề thi Olympic môn Toán lớp 7 năm 2013-2014 - Trường THCS Thanh Văn

Đạt kết quả tốt trong kỳ thi Olymoic với tài liệu đề thi Olympic môn Toán lớp 7 năm 2013-2014 của trường THCS Thanh Văn, các bạn học sinh lớp 7 sẽ được cung cấp kiến thức về đường trung tuyến, chứng minh tam giác cân.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic môn Toán lớp 7 năm 2013-2014 - Trường THCS Thanh VănPHÒNG GD & ĐT THANH OAI Đề THI OLYMPIC TOÁN 7Trường THCS Thanh Văn Năm học 2013-2014 (Thời gian 120 phút ) Câu 1. (5điểm ) 1. Cho c2=ab Chứng minh rằng: a2  c2 a a;  b2  c2 b b2  a2 ba b; 2 2 = a c a 213 2. Ba phân số có tổng bằng , các tử của chúng tỉ lệ vối 3;4;5, các 70mẫu của chúng tỉ lệ vối 5;1;2 .Tìm ba phân số đó. Câu 2. (6 điểm ) 1. Cho đa thức: f(x) = x17- 2000x16 + 2000x15 - 2000x14 +….+ 2000x – 1 Tính giá trị của đa thức tại x = 1999. 2. Chứng minh rằng nếu m và n là các số tự nhiên thì số: A = (5m + n + 1) (3m – n + 4) là số chẵn. Câu 3.(2 điểm ). 7x  8 Tìm số tự nhiên x để phân số có giá trị lớn nhất. 2x  3 Câu 4. (7 điểm ). 1. Cho tam giác ABC cân tại A, B = 500.Gọi K là điểm trong tam giácsao cho KBC =100, KCB = 300. a, Chứng minh BA=BK b, Tính số đo BAK 2. Cho  xAy = 600 có tia phân giác Az. Từ điểm B trên Ax kẻ BHvuông góc với Ay tại H, kẻ BK vuông góc với Az và Bt song song với Ay,Bt cắt Az tại C. Từ C kẻ CM vuông góc với Ay tại M. Chứng minh : a, K là trung điểm của AC b,  KMC là tam giác đều c, Cho BK = 2 cm . Tính các cạnh  AKM - Hết-Duyệt của BGH Người ra đề Nguyễn Thị Lan Hương 1 ĐÁP ÁN VÀ THANG ĐIỂM OLYMPIC Môn: Toán 7( Năm 2013-2014) Câu 1 . (5đ) a c a 2 c 2 a 2  c 2 a 2  a.b a a  b  a 1.(2đ) a, Từ c2=a.b    2  2  2  .  c b c b c  b 2 a.b  b 2 ba  b  b 2 a 2  c2 a b2  c2 b b, Theo câu a ta có 2   2  c2  b2 b a  c2 a b2  c2 b b2  c2 b b2  a2 b  a   2  1   1  ....  2  a2  c2 a a  c2 a a  c2 a 213 2 .(3 đ) Gọi các phân số phải tìm là : a ; b ; c ta có : a+b+c = 70 3 4 5 Và a : b : c = : : = 6 : 40 : 25 ………. 5 1 2 9 12 15 Suy ra a= ; b= ; c= 35 7 14 Câu 2.(6điểm ) 1. (3đ) f(x) =x17 – 1999x16 – x16 + 1999x15 + x15 – 1999x14 - x14+…+1999x + x – 1f(1999) = 199917 - 199917 - 199916 + 199916 + 199915 - 199915-199914+…+19992+1999 – 1 = 1999 – 1 = 1998. 2.(3đ) Ta xét hiệu (5m + n +1) – (3m – n + 4) = ….. = 2m + 2n – 3 Với m, n  N thì 2m + 2n - 3 là một số lẻ . Do đó trong hai số 5m + n +1 và 3m – n +4 phải có một số chẵn. Suy ra tích của chúng là một số chẵn .Vậy A là số chẵn. Câu 3 . (2 đ) 7 x  8 2(7 x  8) 7(2 x  3)  5 7 5 .Đặt A=     2 x  3 2(2 x  3) 2(2 x  3) 2 2(2 x  3) 5 Đặt B= Thì A lớn nhất khi và chỉ khi B lớn nhất 2(2 x  3) ……GTLN của A=6 khi và chỉ khi x=2Câu 4;(7 đ)1.(4đ) 2a,-vẽ tia phân giác ABK cắt CK ở I …. .Ta có IBC cân nên IB=IC ….. BIA  CIA (ccc) …nên BIA  CIA =120o Do đó BIA  BIK (gcg)  BA  BKb, ……..Từ phần a ta tính được BAK  70 o2.(3đ)V ẽ h ình , GT _ KLa,  ABC cân tại B do CAB  ACB( MAC ) và BK là đường cao  BK làđường trung tuyến  K là trung điểm của ACb,  ABH =  BAK ( cạnh huyền + góc nhọn ) 1  BH = AK ( hai cạnh t. ư ) mà AK = AC 2 1  BH = AC 2 1Ta có : BH = CM ( t/c cặp đoạn chắn ) mà CK = BH = AC  CM = CK 2  MKC là tam giác ...