Đề thi Olympic Tây Hồ năm 2012 môn Toán lớp 11

Tham khảo đề thi - kiểm tra đề thi olympic tây hồ năm 2012 môn toán lớp 11, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Tây Hồ năm 2012 môn Toán lớp 11SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HÀ NỘI ĐỀ THI OLYMPIC NĂM HỌC 2011-2012 CỤM TRƯỜNG THPT Môn Toán học - Lớp 11 BA ĐÌNH – TÂY HỒ Thời gian làm bài: 150 phút, không kể thời gian giao đề. Đề thi gồm có 01 trang. Câu 1 (7 điểm): a) Giải phương trình lượng giác: 3  2(sin 4 x  cos 4 x)  tan x  cot x b) Tính các giới hạn sau: n3  2n 3( x 2  2 x  3)  3 3 x 3  x  1 A  lim , B  lim . 3n x 0 x2 Câu 2 (4 điểm): Cho dãy số (un ), n  * xác định bởi: u1  1, u 2  2 và un  2  2un1  un  2012  a.n với tham số a  R . a) Khi a  0 . Xét dãy số (vn ) với vn  un1  un , n  N * . Chứng minh rằng dãy số (vn ) là một cấp số cộng. Tính tổng 2012 số hạng đầu tiên của cấp số cộng đó. b) Xác định số hạng tổng quát của dãy số (un ) . Câu 3 (7 điểm): Trong không gian, cho 3 tia Ox, Oy, Oz đôi một vuông góc với nhau. A, B, C lần lượt là các điểm di động trên các tia Ox, Oy , Oz sao cho: 1 1 1    k với k là một hằng số dương. OA2 OB 2 OC 2 a) Chứng minh rằng tam giác ABC là tam giác nhọn và trực tâm H của tam giác ABC luôn cách O một khoảng không đổi. 2 2 2 2 b) Chứng minh rằng: S ABC  S OAB  S OBC  S OCA trong đó S ABC , S OAB , S OBC , SOCA lần lượt là diện tích các tam giác ABC , OAB, OBC , OCA . c) M là điểm thuộc miền trong tam giác ABC (M không thuộc các cạnh của tam giác). Gọi  ,  ,  lần lượt là các góc hợp bởi đường thẳng OM và các đường thẳng OA, OB, OC. Chứng minh rằng: cos 2  cos 2  cos2  3 2 2  2 2  2 2  sin   sin  sin   sin  sin   sin  4 Câu 4 (2 điểm): Cho dãy số  an  với n  N * , gồm các số tự nhiên, được xác định như sau: a1  2 , an 1  ( n  1)an  1 , n  N * . Với mỗi n  N * , xét an  1 điểm khác nhau cùng nằm trên một mặt phẳng, trong đó không có 3 điểm nào thẳng hàng. Mỗi đoạn thẳng nối hai trong an  1 điểm này được tô bằng một trong n màu khác nhau. Chứng minh rằng, tồn tại tam giác có đỉnh là ba trong an  1 điểm đã cho và các cạnh đều được tô cùng một màu. --------------- HẾT --------------- Họ và tên Thí sinh: ……………………………………… Số Báo danh: ……………………