Đề thi Olympic toán 2013

Tham khảo đề thi - kiểm tra đề thi olympic toán 2013, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic toán 2013 www.VNMATH.com Đ thi Hư ng t i Olympic Toán 2013Đ thi Hư ng t i Olympic Toán 2013 đư c t ch c b i Câu l c b Toán h c t ngày 29/07 đ n ngày 04/08/2012. Kh i 10Bài 1. Cho dãy s nguyên dương {an } th a mãn đi u ki n m + n chia h t cho am + an v i m i m, nnguyên dương. Hãy tìm t t c các giá tr có th có c a a2012 .Bài 2. Cho tam giác ABC n i ti p đư ng tròn (O). G i U V là m t dây cung c a (O). Gi s U V c tAB, AC l n lư t t i Q và P . G i M, N, J, R theo th t là trung đi m BP, CQ, P Q và U V . Ch ngminh r ng R n m trên đư ng tròn ngo i ti p tam giác M N J.Bài 3. Ch ng minh r ng v i m i x, y, z > 0 ta có: 3x 4y z + + 16 ≥ 15 y z 3x + yBài 4. H i có th ph bàn c 8 × 8 b ng 9 hình vuông 2 × 2 và 7 hình ch Z đư c hay không? Gi ithích rõ câu tr l i. Hình 1: Kh i 11Bài 1. Cho a, b, c là các s th c dương. Ch ng minh r ng: 2 1 1 1 1 7 1 1 1 1 a2 + 2+ 2+ b c 2 ≥ 25 a + b + c + a + b + c (a + b + c)Bài 2. Cho t giác l i ABCD th a mãn ABC + BCD < 1800 . Gi s hai đư ng th ng AB và CDc t nhau t i E. Ch ng minh r ng ta có ABC = ADC khi và ch khi AC 2 = |AB.AE − CD.CE|Bài 3. G i S là t p h p t t c các s t nhiên có 2011 ch s có d ng a2011 a2010 ...a2 a1 th a mãn đi uki n ai ≡ i (mod 2) v i m i i = 1, 2, 3..., 2011. Tính s t t c các c p s (x, y) v i x, y ∈ Z, x < y saocho x + y chia h t cho 52011 .Bài 4. Trong chương trình G p g Toán h c l n IV có t ng c ng 673 t a sách và quy t đ nh t ch cđăng ký mua sách cho các thành viên tham gia. Sau khi thu phi u đăng ký, ban t ch c phát hi n cácđi u thú v sau: 1. T t c các b n đ u đăng ký mua đúng ba t a sách. 2. Hai b n b t kì đăng ký mua gi ng nhau ít nh t m t t a sách. 3. Không có t a sách nào đư c t t c các thành viên đăng ký mua. 4. Không có ba b n nào mua ba t a sách gi ng nhau.Ch ng minh r ng kỳ G p g Toán h c l n này có nhi u nh t 2011 b n tham gia giao lưu và h ct p. 1 www.VNMATH.com Kh i 12Bài 1. Gi i h phương trình sau trên t p s th c:  2x = y 3 − y 2 + 2  2y = z 3 − z 2 + 2  2z = x3 − x2 + 2 Bài 2. Cho hai đư ng tròn (O) và (O ) có bán kính khác nhau và c t nhau t i hai đi m phân bi tA, B. G i P Q là ti p tuy n chung g n A hơn c a hai đư ng tròn v i P thu c (O) và Q thu c (O ).G i C là đi m đ i x ng v i A qua đư ng th ng P Q. Ch ng minh r ng: 1. Ti p tuy n k t C đ n hai đư ng tròn ngo i ti p tam giác BP Q đi qua tâm v t ngoài c a hai đư ng tròn (O), (O ). 2. Đư ng th ng qua P vuông góc v i BQ, đư ng th ng qua B vuông góc v i P B và đư ng th ng OO đ ng quy.Bài 3. Tìm t t c các s nguyên dương n ch n sao cho n u đ t 1 1 1 an = + + ... + 1!.(n − 1)! 3!.(n − 3)! (n − 1)!.1!thì phương trình 2xn = an (2yn + 1) có nghi m nguyên dương (xn , yn ).Bài 4. Trong m t đ t nư c có 54 thành ph , m i thành ph có m t sân bay. Gi a hai thành ph b tkì có đúng m t đư ng bay n i tr c ti p gi a chúng và m i đư ng bay thu c s h u c a m t hãnghàng không duy nh t. Bi t r ng có 4 hãng hàng không đang ho t đ ng trên nư c này. Ch ng minhr ng t n t i m t hành trình bay vòng quanh m t s thành ph (l n hơn 2) sao cho t t c các đư ngbay trên hành trình đó đ u thu c s h u c a m t hãng hàng không. 2