Đề thi Olympic Toán (Đại số) sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2013

Nhằm phục vụ cho quá trình học tập và ôn thi Olympic, đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2013 phần Đại số sẽ là tư liệu tham khảo hữu ích cho các bạn học sinh tham gia kỳ thi Olympic Toán sắp tới.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán (Đại số) sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội năm 2013Đề thi Olympic Toán sinh viên ĐHKHTN-ĐHQG Hà Nội 2013 Môn thi: Đại số. Thời gian: 150′Bài 1: Cho ánh xạ tuyến tínha/ Chứng minh rằng tồn tại duy nhất ma trận C sao cho .b/ Nếu thêm giả thiết f (AB) = f (BA) với mọi A,B thì tồn tại sao cho .Bài 2: Tìm tất cả các ma trận vuông A cấp n sao cho ma trận làmột ma trận chéo hóa được. Ở đó là ma trận đơn vị cấp n.Bài 3: Cho là các số phức với với mọi cặp .Tính định thức của ma trận , ở đó:Bài 4: Giả sử A và B là 2 ma trận cỡ với hệ số phức.Chứng minh rằngBài 5:a/ Cho là một ma trận thỏa mãn điều kiện . Chứng minhrằng $A=I$b/ Cho là một ma trận thỏa mãn điều kiện . Kết luận A=Icó còn đúng không? Tại sao?Bài 6: Tìm tất cả các đa thức hệ số thực thỏa mãn:Định nghĩa và ký hiệu:(1) là vết của ma trận vuông B, được định nghĩa bằng tổng các phầntử trên được chéo chính của B(2)(3) Giả sử . Ma trận phụ hợp phức của A đượcđịnh nghĩa như sau: .Ma trận A được gọi là nếu Môn thi: Giải tích Thời gian:120′Bài 1: Tính giới hạn sau:Bài 2: Cho là hàm số liên tục. Giả sử tồn tại một hàm khả vi sao cho:Chứng minh rằng nếu thì g(b)=0Bài 3: Cho hai dãy số thực và $left { y_{n} ight}_{0}^{infty}$ thỏa mãn các điều kiện sau:1. .2. .Chứng minh rằng:Bài 4: Cho hàm số thỏa mãn các điều kiện sau:1. .2. bị chặn trên mọi khoảng con hữu hạn chứa trong .Chứng minh rằng:Bài 5: Cho đa thức với các hệ số và $a eq0$. Giả sử tồn tại vô số các cặp số nguyên sao cho . Chứng minh rằng phương trình P(x)=0 có nghiệm nguyên.