Đề thi olympic toán năm 1998 - Tập 2

Các bài toán được lựa chọn trong các vấn đề toán học sơ cấp, bao gồm 4 lĩnh vực hình học, số học, đại số và tổ hợp. Bắt đầu từ tháng 3 hàng năm, các nước tham gia thi được đề nghị gửi các đề thi mà họ lựa chọn đến nước chủ nhà, sau đó một ban lựa chọn đề thi của nước chủ nhà sẽ lập ra một danh sách các bài toán rút gọn bao gồm những bài hay nhất, không trùng lặp đề thi IMO các năm trước hoặc kì thi quốc gia của các...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi olympic toán năm 1998 - Tập 2 Nguyễn Hữu ĐiểnOLYMPIC TOÁN NĂM 2000 49 ĐỀ THI VÀ LỜI GIẢI (Tập 2) NHÀ XUẤT BẢN GIÁO DỤC2Lời nói đầu Để thử gói lệnh lamdethi.sty tôi biên soạn một số đề toán thi Olympic,mà các học trò của tôi đã làm bài tập khi học tập L TEX. Để phụ vụ các bạn Aham học toán tôi thu thập và gom lại thành các sách điện tử, các bạn có thểtham khảo. Mỗi tập tôi sẽ gom khoảng 50 bài với lời giải. Tập này có sự đónggóp của Trịnh Quang Anh, Nguyễn Thị Bình, Nguyễn Thị Thanh Bình, Đàothị Kim Cúc, Nguyễn Hoàng Cương, Giáp Thị Thùy Dung, Mai Xuân Đông,Hoàng Hà, Nguyễn Thị Thanh Hà. Rất nhiều bài toán dịch không được chuẩn, nhiều điểm không hoàn toànchính xác vậy mong bạn đọc tự ngẫm nghĩ và tìm hiểu lấy. Nhưng đây là nguồntài liệu tiếng Việt về chủ đề này, tôi đã có xem qua và người dịch là chuyên vềngành Toán phổ thông. Bạn có thể tham khảo lại trong [1]. Rất nhiều đoạn vì mới học TeX nên cấu trúc và bố trí còn xấu, tôi khôngcó thời gian sửa lại, mong các bạn thông cảm. Hà Nội, ngày 2 tháng 1 năm 2010 Nguyễn Hữu Điển 51 89/176-05 Mã số: 8I092M5 GD-05Mục lục Lời nói đầu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 Mục lục . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 Chương 1. Đề thi olympic Israel. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 Chương 2. Đề thi olympic Italy . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 Chương 3. Đề thi olympic Nhật Bản . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14 Chương 4. Đề thi olympic Korea . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 Chương 5. Đề thi olympic Mông cổ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 Chương 6. Đề thi olympic Rumani . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32 Chương 7. Đề thi olympic Nước Nga . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 Chương 8. Đề thi olympic Đài Loan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 Chương 9. Đề thi olympic Thổ Nhĩ Kỳ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50Chương 1Đề thi olympic Israel1.1. Định nghĩa f (n) = n!. Cho a = 0.f (1)f (2)f (3).... Nói cách khác, để thu được sự biểu diễn phần thập phân của a viết các biểu diễn thập phân của f (1), f (2)., ... trong một hàng, a có phải là số hữu tỷ không? Lời giải: Nếu a là số hữu tỷ thì các con số trong phần thập phân phải xuất hiện một cách tuần hoàn. Vì f(n) luôn bao gồm một số khác không, nên phần tuần hoàn của phần thập phân không thể chỉ bao gồm toàn số không. Tuy nhiên, n đủ lớn, số các số 0 chưa trong f(n) tiến tới vô cùng, vì vậy phần tuần hoàn của phần thập phân phải chứa toàn số 0 – mâu thuẫn. Vì vậy a không là số hữu tỷ.1.2. . ∆ ABC đỉnh là những điểm nguyên. Hai trong ba cạnh có độ dài thuộc √ √ √ tập 17, 1999, 2000 . Tìm giá trị lớn nhất có thể của diện tích ∆ABC. Lời giải: Không mất tổng quát, giả sử cạnh AB, BC có độ dài thuộc √ √ √ 17, 1999, 2000 thì √ √ SABC = 1 AB.BC sin B CA≤ 1 2000 2000 sin π = 1000. 2 2 26 Nguyễn Hữu Điển, ĐHKHTN Hà Nội Đẳng thức có thể xảy ra, chẳng hạn trong ∆ mà đỉnh là (0,0); (44,8) và √ (-8, 44) chính xác 2 cạnh dài 2000 vì 442 + 82 = 2000 và góc giữa 2 cạnh là π . Từ đó, diện tích lớn nhất của ∆ là 1000. 2 1.3. Bài toán 3.Các điểm A, B, C, D, E, F nằm trên 1 đường tròn và các đường thẳng AD, BE, CF đồng quy. Lấy P, Q, R là các trung điểm cạnh AD, BC, CF tương ứng. 2 đoạn (dây cung) AG, AH được vẽ sao cho AG // BE và AH//CF chứng minh rằng ∆ PQR và ∆ DGH đồng dạng. Lời giải: Các góc định hướng môđun π . Giả sử đoạn thẳng AD, BE, CF đồng quy (cắt nhau) tại X và O là tâm đường tròn cho ở bài. Hiển nhiên O P X = O QX = O RX = π , suy ra O, P, Q, R và X cùng 2 thuộc 1 đường tròn. Vì vậy D GH = D AH = D XC = π − C XP = π − RXP = P QR Tương tự D GH = P RQ, từ đó suy ra ∆PQR ∼ ∆DGH. 1.4. Một hình vuông ABCD cho trước, một phép đạc tam giác của hình vuông là 1 sự phân chia hình và thành các tam giác sao cho bất kỳ 2 ...