Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2013

Với đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2013 sẽ giúp các bạn học sinh chuẩn bị ôn luyện và bổ trợ kiến thức cho kỳ thi Olympic Toán sắp tới cũng như phát huy tư duy, năng khiếu về môn Toán. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi Olympic Toán Sinh viên Quốc tế năm 2013 ĐỀ THI OLYMPIC TOÁN SINH VIÊN QUỐC TẾ NĂM 2013Ngày thứ nhấtBài 1. Cho A và B là các ma trận đối xứng thực có tất cả các giá trị riêng đềulớn hơn 1. Gọi là một giá trị riêng của ma trận AB. Chứng minh rằng .Bài 2. Cho là hàm khả vi cấp hai. Giả sử f(0)=0. Chứng minhrằng tồn tại sao choBài 3. Có 2n sinh viên trong một trường học . Mỗi tuần$n$ sinh viên đi du lịch. Sau một số chuyến du lịch, điều kiện sau được thỏamãn: mỗi hai sinh viên được đi cùng nhau ít nhất một chuyến. Số chuyến dulịch tối thiểu để điều này xảy ra là bao nhiêu?Bài 4. Cho và là các số thực không âm. Ta định nghĩa và . Chứng minh rằngBài 5. Tồn tại hay không dãy các số phức sao cho với mọi số nguyêndương p, ta có hội tụ nếu và chỉ nếu p không nguyên tố?Ngày thứ haiBài 1. Cho z là số phức thỏa mãn . Chứng minh rằng .Bài 2. Cho p và q là các số nguyên dương nguyên tố cùng nhau. Chứng minhrằng(Trong đó là phần nguyên của x.)Bài 3. Giải sử là các vector đơn vị trong . Chứng minh rằngtồn tại vector đơn vị u sao chovới .(Ở đây kí hiệu tích vô hướng thông thường trên ).Bài 4. Tồn tại hay không tập vô hạn M gồm các số nguyên dương sao chovới mọi , và mà a+b là một số bình phương tự do.(Một số nguyên dương được gọi là bình phương tự do nếu không có số chínhphương lớn hơn 1 là ước của nó. Ví dụ, 10 là bình phương tự do nhưng 18thì không vì nó có ước là 9 = 32.)Bài 5. Xét một vòng cổ tròn gồm 2013 hạt. Mỗi hạt được sơn màu trắnghoặc màu xanh. Một cách sơn vòng cổ được gọi là tốt nếu giữa bất kì 21 hạtliên tiếp nào cũng có ít nhất một hạt màu xanh. Chứng minh rằng số cáchsơn tốt của vòng cổ này là số lẻ.(Hai cách sơn khác nhau trên một số hạt, nhưng có thể đạt được bằng cáchquay hay lật chuỗi hạt, thì được tính là các cách sơn khác nhau.)