Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn toán lớp 10

Tham khảo tài liệu đề thi olympic truyền thống 30/4 môn toán lớp 10, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi olympic truyền thống 30/4 môn toán lớp 10KỲ THI OLYMPIC TRUY N TH NG 30/4L N TH XIII T I THÀNH PH HU THI MÔN TOÁN L P 10 Th i gian làm bài: 180 phút Chú ý: M i câu h i thí sinh làm trên 01 t gi y riêng bi tCâu 1 (4 i m). Gi i h phương trình: 2 8 xy 2  x + y + x + y = 16   x + y = x2 − y Câu 2 (4 i m). Cho các s th c a, b, x, y tho mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nhnh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay .Câu 3 (4 i m). Cho tam giác ABC có các góc A, B th a i u ki n: 3A 3B A− B . sin + sin = 2 cos 2 2 2 Ch ng minh tam giác ABC là tam giác u.Câu 4 (4 i m). Cho t giác l i ABCD. Xét M là i m tùy ý. G i P, Q, R, S là các i m saocho: MB + MC + MD = 4 MP ; MC + MD + MA = 4 MQ ; MD + MA + MB = 4 MR ; MA + MB + MC = 4 MS . Tìm v trí c a i m M sao cho PA = QB = RC = SD.Câu 5 (4 i m). cho m t ngũ giác l i có các nh là nh ng i m có Trong m t ph ng t a nguyên. Ch ng minh r ng bên trong ho c trên c nh ngũ giác có ít nh t m tta i m có t a nguyên. -------------------H T--------------------- Ghi chú: Cán b coi thi không gi i thích gì thêm áp án Toán 10 N I DUNG IMCâu 1: Gi i h phương trình: 2 8xy 2 x + y + x + y = 16 (1)   x + y = x2 − y ( 2)  * i u ki n: x + y > 0 0,5 * (1) ⇔ (x2 + y2)(x + y) + 8xy = 16(x + y) 1 ⇔ [(x + y)2 – 2xy ] (x + y) – 16(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)3 – 16(x + y) – 2xy(x + y) + 8xy = 0 ⇔ (x + y)[(x + y)2 – 16] – 2xy(x + y – 4) = 0 ⇔ (x + y – 4)[(x + y)(x + y + 4) – 2xy] = 0 x + y − 4 = 0 0,5 (3) ⇔ 2 2  x + y + 4(x + y) = 0 (4) T (3) ⇒ x + y = 4, th vào (2) ta ư c: 1  x = −3 ⇒ y = 7 x2 + x – 4 = 2 ⇔ x2 + x – 6 = 0 ⇔  . x = 2 ⇒ y = 2 (4) vô nghi m vì x2 + y2 ≥ 0 và x + y > 0. 0,5 V y h có hai nghi m là (–3; 7); (2; 2) 0,5 áp án Toán 10 N I DUNG IMCâu 2: Cho các s th c a , b , x , y th a mãn i u ki n ax − by = 3 . Tìm giá tr nh nh t c a bi u th c F = a 2 + b 2 + x 2 + y 2 + bx + ay . 0,5 2 2 Vi t l i F =  x +  +  y +  + a 2 + b 2 . 3 b a ( )     2  2 4 t M = (x; y ) , A =  − ; −  , (∆ ) : ax − by = 3 . Ta có 1,5 b a   2 2 2 2  b  a 3 MA =  x +  +  y +  . Mà M ∈ (∆ ) nên MA 2 ≥ [d ( A; ∆ )] = 2 2 2 . a + b2  2  2 ng th c x y ra khi M là hình chi u c a A trên (∆ ) . 1 3 3 3 3 ( ) ( ) + a2 + b2 ≥ 2 2 . a ...