Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương

Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Hải Dương giúp các em học sinh tự kiểm tra lại kiến thức môn Toán lớp 9 của mình, luyện đề chuẩn bị tốt cho kì thi tuyển HSG môn Toán sắp tới. Mời quý thầy cô và các bạn cùng tham khảo đề thi.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi tuyển HSG lớp 9 môn Toán năm 2012 - 2013 - Sở GD&ĐT Hải DươngSỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHẢI DƯƠNGĐỀ CHÍNH THỨCKÌ THI TUYỂN HỌC SINH GIỎINĂM HỌC 2012- 2013Môn thi: TOÁNThời gian làm bài: 150 phútĐề thi gồm : 01 trangCâu I (2,0 điểm)2221) Phân tích đa thức sau thành nhân tử a (b-2c)+b (c-a)+2c (a-b)+abc .2) Cho x, y thỏa mãn x  3 y- y2 +1+ 3 y+ y2 +1 . Tính giá trị của biểu thứcA  x 4 +x3 y+3x 2 +xy- 2y2 +1 .Câu II ( 2,0 điểm)2421) Giải phương trình (x - 4x+11)(x - 8x +21)  35 . x+ x 2 +2012 y+ y 2 +2012  20122) Giải hệ phương trình .22 x + z - 4(y+z)+8  0Câu III (2,0 điểm)1) Chứng minh rằng với mọi số nguyên n thì (n2 + n + 1) không chia hết cho 9.2) Xét phương trình x2 – m2x + 2m + 2 = 0 (1) (ẩn x). Tìm các giá trị nguyêndương của m để phương trình (1) có nghiệm nguyên.Câu IV (3,0 điểm)Cho tam giác ABC vuông tại A có AB < AC ngoại tiếp đường tròn tâm O.Gọi D, E, F lần lượt là tiếp điểm của (O) với các cạnh AB, AC, BC; BO cắt EFtại I. M là điểm di chuyển trên đoạn CE.1) Tính BIF .2) Gọi H là giao điểm của BM và EF. Chứng minh rằng nếu AM = AB thì tứgiác ABHI nội tiếp.3) Gọi N là giao điểm của BM với cung nhỏ EF của (O), P và Q lần lượt làhình chiếu của N trên các đường thẳng DE, DF. Xác định vị trí của điểm M đểPQ lớn nhất.Câu V (1,0 điểm)Cho 3 số a, b, c thỏa mãn 0  a  b  c  1 . Tìm giá trị lớn nhất của biểu 111 +. a+1 b+1 c+1 thức B  (a+b+c+3) +----------------------------Hết---------------------------Họ và tên thí sinh…………………………Số báo danh………………...………………Chữ kí của giám thị 1: ……………………… Chữ kí của giám thị 2:SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠOHẢI DƯƠNGKÌ THI HỌC SINH GIỎINĂM HỌC 2012 - 2013HƯỚNG DẪN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM MÔN TOÁN (chuyên)Hướng dẫn chấm gồm : 03 trangI) HƯỚNG DẪN CHUNG.- Thí sinh làm bài theo cách riêng nhưng đáp ứng được yêu cầu cơ bản vẫn cho đủđiểm.- Việc chi tiết điểm số (nếu có) so với biểu điểm phải được thống nhất trong Hộiđồng chấm.- Sau khi cộng điểm toàn bài, điểm lẻ đến 0,25 điểm.II) ĐÁP ÁN VÀ BIỂU ĐIỂM CHẤM.CâuNội dungĐiểmCâu I(2,0đ)1) 1,0 điểm a 2 (b - 2c) +b2 (c - a) + 2c2 (a - b) + abc=2c2 (a - b)+ab(a-b)-c(a 2  b2 )  ac(a  0,25b) (a  b)[2c 2  2ac  ab  bc] (a  b)[2c(c  a)  b(a  c)] (a  b)(a  c)(b  2c)0,250,250,250,252) 1,0 điểm Có x = 3 y- y2 + 1  3 y+ y2 + 1 x 3 = 2y +3 3 y - y 2 + 1 . 3 y+ y 2 + 1  3 y- y 2 +1  3 y+ y 2 +1 3 x + 3x -2y = 00,25A = x 4 + x3 y + 3x 2 - 2xy + 3xy - 2y2 + 1 = (x 4 +3x 2 -2xy) +(x3 y+3xy - 2y2 )  10,25 x(x3 +3x-2y) +y(x 3 +3x - 2y)  1  1Câu II(1,0đ)1)1,0 điểm0,25phương trình đã cho tương đương với ( x  2)2  7 ( x2  4)2  5  350,25(1)2)1,0 điểm( x  2)2  7  7x 222Do 2  ( x  2)  7  ( x  4)  5  35x2( x  4)  5  5x 2( x  2)  7  7(1)   22( x  4)  5  50,25x=222(x+ x +2012)(y+ y +2012)  2012 (1) 2 2(2) x + z - 4(y+z)+8=00,250,25(1)  x  x 2  2012(Do y y 2  2012  y  0y )y 2  2012y 2  2012  y  20120,25y 2  2012  y x  x 2  2012 2012  2012y 2  2012  y  x  x 2  2012  x  y  y 2  2012  x 2  2012 x y y 2  2012  x 2  2012y 2  2012  x 2  2012y 2  2012  yy  2012  x  201222y 2  x2 x y y 2  2012  x 2  2012 ( x  y)y 2  2012  y  x 2  2012  xy 2  2012  x 2  2012Do00,25y 2  2012 | y | yy 22  y  2012  y  x  2012  x  0  y   xx 2  2012 | x |  xx Thay y=-x vào(2)  x2  z 2  4 x  4 z  8  0  ( x  2)2  ( z  2)2  0( x  2) 2  0 x  2 y   x  2 Vậy hệ có nghiệm (x;y;z)=(2( z  2)  0z  20,250,252;2;2).Câu III(2,0đ)1)1,0 điểm2)1,0 điểmĐặt A = n2 + n + 1 do n  n = 3k; n = 3k + 1; n = 3k + 2 (k )* n = 3k => A không chia hết cho 9 (vì A không chia hết cho 3)* n = 3k + 1 => A = 9k2 + 9k + 3 không chia hết cho 9.* n = 3k +2 => A = 9k2 +9k+7 không chia hết cho 9Vậy với mọi số nguyên n thì A = n2 + n + 1 không chia hết cho 9.Gi¶ sö tån t¹i m  * ®Ó ph¬ng tr×nh cã nghiÖm x1, x2 x1  x2  m2Theo vi-et: Với m **0,250,250,250,25 (x1 - 1) (x2 - 1) = - m2 + 2m + 3 x1 x2  2m  2. Ta cã x1x2  4 vµ x1 + x2  1 mà x1hoÆc x2 nguyªn vµx1  x2  m2 0,25 x1 , x2 *0,25 ( x1  1)( x2  1)  0 m2  2m  3  0  (m  1)(m  3)  0  m  3  m {1;2;3}Víi m = 1; m = 2 thay vµo ta thÊy ph¬ng tr×nh ®· cho v« nghiÖm.Víi m = 3 thay vµo ph¬ng tr×nh ta ®îc nghiÖm cña ph¬ng tr×nh ®·cho lµ x =1; x = 8 tho¶ m·n. VËy m= 3Câu IV(2,0đ)1) 1,0 điểm Vẽ hình đúng theo yêu cầu chung của đề0,250,250,25BFKHDOIAECMGọi K là giao điểm của BO với DF => ΔIKF vuông tại K12Có DFE= DOE=4500,250,250,25 BIF  4502) 1,0 điểm Khi AM = AB thì ΔABM vuông cân tại A => DBH=450 .Có0,25DFH=450= ...