Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCL

Tài liệu mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn ôn thi Olympic toán. Tài liệu mang tính chất tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi và đáp án kỳ thi olympic toán ĐBSCLSôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng ThaùpTröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc ÑEÀ THI OLYMPIC ÑBSCL Moân: TOAÙN – Khoái 12Baøi 1: Cho soá nguyeân n > 1 vaø soá thöïc p > 0 . Tìm giaù trò lôùn nhaát cuûa: n 1 n  xi xi 1 khi xi chaïy khaép moïi giaù trò thöïc khoâng aâm sao cho i 1 x i 1 i  p.Baøi 2: Trong maët phaúng toïa ñoä vuoâng goùc oxy cho n veùctô : OA1 , OA2 ,, OAn , thoûa OA1  OA2    OAn  1 Chöùng minh raèng coù theå choïn ra k veùctô coù tính chaát : 1 OAi  OAi    OAi  . 1 2 k 4Baøi 3:Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng ThaùpTröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc n (1) k 1 Daõy soá (un ) , (n =1, 2, 3,....) ñöôïc xaùc ñònh bôûi un   , vôùi n=1, 2, 3, .... k 1 k Chöùng minh raèng daõy soá naøy coù giôùi haïn vaø tìm giôùi haïn ñoù.Baøi 4: Giaûi phöông trình sau : T 4  4T 3  6T 2  4T  1  0Baøi 5: Cho tam giaùc ABC, O laø ñieåm tuøy yù trong tam giaùc. Ñaët : OA = x; OB = y; OC = z. Goïi u, v, w töông öùng laø caùc ñöôøng phaân giaùc trong caùc goùc BOC,  COA,  AOB cuûøa caùc tam giaùc BOC, COA, AOB. Chöùng minh raèng : x  y  z  2(u  v  w) .Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng ThaùpTröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc ÑAÙP AÙNBaøi 1: Ñaët : S = x1x2 + x2x3 + … + xn-1xn ; p = x1 + x2 + … + xn . Giaû söû : xk = Max { x1, x2 , … , xn} n 1 n 1 k 1 n 1 k p2 S=  xi xi1 = i 1  xi xi1 + i 1  xi xi1  xk . xi + xk . xi 1  xk(p – xk)  i k i 1 i k 4,(Coâsi). p2 Vaäy : Max S = khi xk = xk+1 = p/2 vaø xi = 0, i = 1,…n, i  k vaø i  k + 1. 4Baøi 2: Goïi (xi,yi) laø toïa ñoä veùctô OAi , i = 1,…,n. Ta coù: OAi  xi2  yi2  xi  yi , (1). Daáu ‘’=’’ xaõy ra khi xi = 0 hay yi = 0. n n Töø gthieát ta coù: 1  OA1  OA2    OAn   xi   yi i 1 i 1Sôû Giaùo Duïc & Ñaøo Taïo Ñoàng ThaùpTröôøng THPT Thò Xaõ SaÑeùc n n  1   xi   y i   xi   xi   y i   y i . i 1 i 1 xi 0 xi 0 yi  0 yi  0 1 Theo nguyeân lyù Ñirichleâ seõ toàn taïi x xi  0 i  4 . Goïi OAi1 , OAi 2 ,..., OAik laàn löôït laø caùc veùctô coù hoaønh ñoä x i1, xi2, …, xik > 0. Ta coù:OAi1  OAi 2    OAik  xi1  xi 2    xik 2   yi1  yi 2    yik 2  xi1    xik   xi  1 xi 0 4.Baøi 3: 2m m 1 1 2m 1 m 1 m 1 Ta vieát : u2 m    2 =    k 1 k k 1 2k k 1 k k 1 k k 1 k  m Maët khaùc, ta coù nhaän xeùt : vôùi x  (0,1) thì ln( x  1)  x   ln(1  x) , (1) Thaät vaäy: 1 x + Xeùt f ( x)  ln( x  1)  x  f ( x)  1   0, x  (0,1) , suy ra f(x) x 1 x 1 nghòch bieán treân (0,1)  f ( x)  f (0)  0  ln( x  1)  x , (2) 1 x + Xeùt g ( x)  ln(1  x)  x  g ( x)  1   0, x  (0,1) , suy ra g(x) 1 x 1 x nghòch bieán treân (0,1)  g ( x)  g (0)  0  x  ln(1  x) , (3) Töø (2) vaø (3) suy ra (1) ñaõ ñöôïc chöùng minh ...