Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P2

Tham khảo tài liệu đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán p2, tài liệu phổ thông, toán học phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đề thi và đáp án thi chọn đội tuyển toán P244 Chương 2. Đáp án tuy n sinh √ 2 √Ta chú ý r ng √ = √1 = 2 − 1 và 2+ 2 2+1 √ √ √ √ 2 4+3 2 4 2+6 4+3 2 1 √ . √ = √ =1⇒ √ =√ . 2+ 2 2+ 2 6+4 2 2+ 2 2−1 √Ta đ t t = ( 2 − 1)u thì (2) tr thành √ √ √ f ( 2 − 1)u+1 + f ( 2 − 1)u−1 = 2f ( 2 − 1)u ∀u (3) √L i đ t f ( 2 − 1)u = g(u) thì (3) tr thành g(u + 1) + g(u − 1) = 2g(u) ∀u (4) ⇔g(u + 1) − g(u) = g(u) − g(u − 1) ∀uĐ t g(u + 1) − g(u) = h(u) thì h(u + 1) = h(u) ∀u. B ng quy n p d th y g(u + n) = nh(u) + g(u)Vy h(u) + k(u) v i 0 u0trong đó, g(u) đư c xác đ nh theo (5). √ √ c) V i x < 0 ta đ t −(2 + 2)x = t = ( 2 − 1)u ta có f (x) = g log√2−1 |x| v i x2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 45 Xét phân ho ch A= A(n1 ,n2 ,...,n1994 ) đây +) H p l y theo t t c các b có th t các s t nhiên (n1 , n2 , . . . , n1994)tho mãn n1 + 2n2 + · · · + 1994n1994 = 1994. +) A(n1 ,n2 ,...,n1994 ) là t p g m t t c các b có th t (a1, a2, . . . , a1993+1994) ∈A và tho mãn đi u ki n là trong m i b có đúng nk nhóm k ∀k = 1, 1994.(Nhóm k đư c đ nh nghĩa là nhóm g m đúng k s 1 đ ng liên ti p trong b ,nói khác đi là nhóm có 1 trong các d ng sau (1 . . . 1 0; 0 1 . . . 1 0; 0 1 . . . 1)). ks 1 ks 1 ks 1 Có 1993 CardA = C1993+1994 1994! CardA(n1 ,n2 ,...,n1994 ) = n1 !n2! . . . n1994!(1994 − n1 − · · · − n1994)! 1994! = n1 !n2! . . . n1994!(n2 + 2n3 + · · · + 1993n1994 )!Mà CardA = CardA(n1 ,n2 ,...,n1994 ) .Nên suy ra: 1 T = C 1993 1994! 1993+1994.2.4 Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995Bài 1. Cho tam giác ABC v i m i đi m M, g i kho ng cách đ i s t Mđ n đư ng th ng BC là ± (kho ng cách thông thư ng t M đ n BC), l yd u + hay − tuỳ theo M cùng phía hay khác phía v i A đ i v i BC (t tnhiên M thu c BC thì kho ng cách đó b ng không). Tương t cho kho ngcách đ i s t M đ n CA, AB. 1) Xét các đư ng tròn (AB1C1), (AB2 C2) như trong đ bài. Hãy ch ngminh tr c đ ng phương c a c p đư ng tròn đó là qu tích các đi m M màcác kho ng cách đ i s t M đ n AB và đ n CA t l v i γ vàβ.46 Chương 2. Đáp án tuy n sinh − − → → Th c v y, l y h to đ vuông góc Oxy mà O ≡ A, B ∈ Ox+ , (AB, AC) = −→ −→ϕ, 0 < ϕ < 180◦ . Khi đó AB = (1, 0), CA = (− cos ϕ, sin ϕ). G i c b  B1 = (b1 cot ϕ, b1),   B = (b cot ϕ, b ), 2 2 2 , c1 , c2 = 0, c1 = c2 , b1 , b2 = 0, b1 = b2 C1 = (c1 , 0),    C2 (c2 , 0) −− −→ − → thì B1 B2 = β CA hay ((b2 − b1 ) cot ϕ, b2 − b1) = β(− cos ϕ, − sin ϕ) suy bra b2 − b1 = −β sin ϕ. −−−→ −→ Ta cũng có C1 C2 = γ AB tương đương v i (c2 − c1, 0) = γ(1, 0) hay cc2 − c1 = γ. Đư ng tròn (AB1C1 ) đia qua A, C1 nên x2 + y 2 − c1 x − λ1 y = 0, nó điqua B1 nên λ1 = b1 −c1sin2 ϕ cos ϕ , đư ng tròn (AB2 C2): x2 + y 2 − c2 x − λ2y = 0, sin ϕλ2 = b2 −c2 sin ϕ cos ϕ . β Tr c đ ng phương hai đư ng tròn đó là (c2 − c1 )x + (λ2 − λ1 )y = 0 β + γ cos ϕ ⇔ γx − y=0 sin ϕhay y x sin ϕ − y cos ϕ = γ βĐ ý r ng y là kho ng cách đ i s t M(x, y) đ n AB còn x sin ϕ − y cos ϕlà kho ng cách đ i s t M(x, y) đ n CA, ta suy ra đi u ph i ch ng minh. 2) V i m i đi m M, kí hi u X, Y, Z là kho ng cách đ i s t M đ nBC, CA, AB thì d th y aX + bY + cZ = 2S, (S là di n tích tam giácABC) và ngư c l i (X, Y, Z) mà aX + bY + cZ = 2S xác đ nh m t đi mM duy nh t có các kho ng cách đ i s nói trên là X, Y, Z. Theo ph n 1), phương trình dA là Y = Z , c a dB là X = Z , c a dC β γ α γlà Z = Y . Đi m chung c a dA , dB , dC (n u có) là đi m M(X, Y, Z) mà α β2.4. Đáp án ch n đ i tuy n năm h c 1994 - 1995 47(X, Y, Z) là nghi m c a h aX + bY + cZ = 2S X α =Y =Z β γhay X Y Z 2S = = = α β γ aα + bβ + cγh đó có nghi m (và ch có m t nghi m) khi và ch ...