Định lí hội tụ theo trung bình đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach

Bài viết trình bày việc đã thu được các kết quả mới về hội tụ theo trung bình đối với mảng các biến ngẫu nhiên E -giá trị với chỉ ngẫu nhiên và không ngẫu nhiên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí hội tụ theo trung bình đối với mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian BanachUED JOURNAL OF SOCIAL SCIENCES, HUMANITIES AND EDUCATION VOL.2, NO.2 (2012) ĐỊNH LÍ HỘI TỤ THEO TRUNG BÌNH ĐỐI VỚI MẢNG CÁC BIẾN NGẪU NHIÊN NHẬN GIÁ TRỊ TRONG KHÔNG GIAN BANACH Lê Văn Dũng, Tôn Thất Tú* TÓM TẮT Cho {X ij ; i  1, j  1} là mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gianBanach E với chuẩn ||  || , {amnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  vn } là mảng các hằng số thực,trong bài báo này chúng tôi thiết lập điều kiện đủ để thu được định lí hội tụ theo trung bình dạng  a k l Lpmax1k u mnij X ij → khi n  m →  và định lí hội tụ theo trung bình với chỉ số ngẫu nhiên m1l vn i =1 j =1 Tm n Lpdạng  a mnij X ij → 0 khi n  m → , trong đó {Tm ; m  1} và { n , n  1} là dãy các đại lượng i =1 j =1ngẫu nhiên nhận giá trị nguyên dương, {um ; m  1},{vn ; n  1} là 2 dãy các số nguyên dươngthỏa mãn lim um = lim vn = . Các kết quả của chúng tôi là mở rộng các Định lí 1 và Định lí 2 m → n →của Rosalsky và các tác giả khác [3]. Hơn nữa, từ kết quả hội tụ theo trung bình, áp dụng bấtđẳng thức Markov ta dễ dàng suy ra được kết quả về luật yếu số lớn đối với mảng nhiều chiềucác đại lượng ngẫu nhiên. Từ khóa: Hội tụ trung bình; Mảng hai chiều; Biến ngẫu nhiên Banach-giá trị; Đại lượngngẫu nhiên; Luật yếu số lớn.1. Đặt vấn đềCho không gian xác suất đầy đủ (, F , P) và E là không gian Banach khả ly, thực vớichuẩn ||  || . Trong bài báo này chúng tôi mở rộng kết quả của Rosalsky và các tác giảkhác [3] cho mảng các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p-trơn đềuđối với mảng hai chiều các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong không gian Banach p –trơn đều.2. Kết quả nghiên cứu Với a, b  ¡ , kí hiệu max{a, b}, min{a, b} lần lượt là a  b, a  b . Trong bài báo nàychúng tôi kí hiệu C là hằng số dương tổng quát không nhất thiết phải giống nhau trongmỗi lần xuất hiện. Cho không gian xác suất đầy đủ (, F , P) và E là không gianBanach khả ly, thực với chuẩn ||  || , biến ngẫu nhiên X :  → E được gọi là biến ngẫunhiên E -giá trị. Trong trường hợp E = ¡ , ta sẽ gọi X là đại lượng ngẫu nhiên. Scalora [4] đưa ra khái niệm kì vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên E -giá trị. VớiX là biến ngẫu nhiên E -giá trị và G là một  -đại số con của F , kì vọng có điều kiệnE ( X / G ) được định nghĩa tương tự như kì vọng có điều kiện của đại lượng ngẫu nhiênvà ta cũng có các tính chất tương tự. 7TẠP CHÍ KHOA HỌC XÃ HỘI, NHÂN VĂN VÀ GIÁO DỤC TẬP 2, SỐ 2 (2012) Một không gian Banach khả ly, thực E được gọi là không gian p-trơn đều( 1  p  2 ) nếu tồn tại hằng số dương C sao cho với mọi dãy biến ngẫu nhiên E -giá trị{X k ;1  k  n} ta đều có k n E max ||  X i || p  C  E || X i || p . 1 k  n i =1 i =1Dễ dàng thấy rằng mọi không gian Banach khả ly, thực đều là không gian 1-trơn đều,tập số thực với chuẩn giá trị tuyệt đối là không gian 2-trơn đều. Nếu E là không gian p-trơn đều với 1  p  2 thì E là không gian r-trơn đều với 1  r  p . Các tính chất củakhông gian p-trơn đều có thể tìm đọc trong tài liệu tham khảo [2]. Bổ đề sau được cung cấp bởi Dung [1].1.1.1. Bổ đề. Cho 1  p  2 và E là không gian Banach p-trơn đều. Cho{X kl ;1  k  m,1  l  n} là mảng các biến ngẫu nhiên E -giá trị thỏa mãn điều kiệnE ( X kl | F kl ) = 0 với mọi 1  k  m,1  l  n với F kl là  - đại số sinh bởi các đại lượngngẫu nhiên {X ij : i  k hoặc j  l} , F1,1 = {, } . Khi đó, m n E max || Skl || p  C  E || X kl || p k  m ,l  n k =1 l =1 k ltrong đó Skl =  X ij . i =1 j =1 Trong các kết quả sau đây chúng tôi xét (, F , P) là không gian xác suất đầy đủ, E là không gian p-trơn đều với 1  p  2 ; {X ij ; i  1, j  1} là mảng các biến ngẫu nhiên E -giá trị, {um ; m  1},{vn ; n  1} là 2 dãy các số nguyên dương thỏa mãnlim um = lim vn =  và {amnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  vn } là mảng các hằng số thực.m → n →1.1.2. Định lí. Nếu tồn tại mảng các hằng số dương{cmnij ; m  1, n  1,1  i  um ,1  j  vn } sao cho um vn  c i =1 j =1 p mnij | amnij | p → 0 khi n  m →  và (2.1) um vn  | a i =1 j =1 mnij | p E || X ij I (|| X ij || cmnij ) || p → 0 khi n  m → . (2.2)Khi đó, k l Lp ...