Định lí Steiner Cho Tứ Giác Toàn Phần

Tài liệu " Định lí Steiner Cho Tứ Giác Toàn Phần " mang tính chất tham khảo, giúp ích cho các bạn tự học, ôn thi, với phương pháp học hay, thú vị, rèn luyện kỹ năng giải đề, nâng cao vốn kiến thức cho các bạn trong các kỳ thi sắp tới. Tác giả hy vọng tài liệu này sẽ giúp ích cho các bạn.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lí Steiner Cho Tứ Giác Toàn Phần NH LÝ STEINER CHO T GIÁC TOÀN PH N nh lý 1:Cho t giác BCEF v i các c nh bên c t nhau t i A, D (t giác toàn ph n). Khi ócác ư ng tròn ngo i ti p các tam giác ABC, AEF, BFD, CDE ng quy t i m t i m M g i là i m Miquel c a t giác.Ch ng minh:Gi s các các ư ng tròn ngo i ti p các tam giác ABC, AEF c t nhau t i M. Tach ng minh các ư ng tròn còn l i cũng i qua M.Th t v y: · ·( MA, MC ) = ( BA, BC ) ( mod π )   · ·( ME, MA) = ( FE, FA) ( mod π )  A · · ·⇒ ( ME , MC ) = ( BA, BC ) + ( FE , FA ) ( mod π ) · · · ·⇒ ( ME , MC ) = ( FA, BD ) + ( FD, FA) = ( FD, BD ) O4 O1 ·= ( DE , DC ) ( mod π ) BDo ó ư ng tròn ngo i ti p tam giác CDE M Ccũng i qua M.Tương t ta có i u c n ch ng minh. P3 P2 P1 O3 O2 nh lý 2:Các tâm c a các ư ng tròn trên và i m F E DMiquel M cùng n m trên m t ư ng tròn.Ch ng minh:G i O1 , O2 , O3 , O4 l n lư t là tâm các ư ng trònngo i ti p các tam giác AEF, BFD, CDE, ABC.Ta ch ng minh O1 , O2 , O3 , M cùng n m trên m t ư ng tròn.Th t v y:H P , P2 , P3 l n lư t là chân ư ng vuông góc t M xu ng O2O3 , O3O1 , O1O2 . 1Khi ó rõ ràng P , P2 , P3 l n lư t là trung i m MD, ME, MF. 1Do ó P , P2 , P3 th ng hàng. 1Theo nh lý v ư ng th ng Simson ( o) ta có: O1 , O2 , O3 , M cùng n m trên m t ư ng tròn.Tương t suy ra O1 , O2 , O3 , O4 , M cùng n m trên m t ư ng tròn. nh lý 3:Các chân ư ng vuông góc h t M xu ng các ư ng th ng ABF, ACE, BCD,DEF cùng n m trên m t ư ng th ng d1 .Ch ng minh:K t qu này khá hi n nhiên khi ta s d ng ư ng th ng Euler cho i m M v i 2trong 4 tam giác ABC, AEF, BFD, CDE. nh lý 4:Các tr c tâm c a 4 tam giác trên cùng n m trên m t ư ng th ng d 2 ( ư ng th ngSteiner c a t giác). nh lý 5:Hai ư ng th ng d1 , d 2 song song. ACh ng minh: (c hai nh lý 4,5)G i H1 , H 2 , H 3 , H 4 ; K1 , K 2 , K 3 , K 4 l n lư t làtr c tâm c a các tam giác nói trên và chân các ư ng vuông góc h t M xu ng các ư ngth ng trong nh lý 3. B MTa ch ng minh: H 2 H 4 / / K 2 K 4 . H4 K2Th t v y: ·G i DH 2 ∩ BF = G , gi s DBF ≤ 900 ta có: C BG · · BD cos DBF FD cos DBF G H2BH 2 = = = · cos FBH 2 · sin BFD · sin DBF ·= FD cot DBF F DTương t v i tam giác ABC ta có: E K4BH 4 = − AC cot · · ABC = AC cot DBF BH 2 FDDo ó: = BH 4 ACM t khác xét hai tam giác MDF và MCA ta có:· · ·DMF = DBF = CMA   FD MK 4  ⇒ ∆MDF : ∆MCA ⇒ =· · ·FDM = ABM = ACM  AC MK 2 Xét hai tam giác BH 2 H 4 , MK 4 K 2 ta có:BH 2 MK 4 =BH 4 MK 2· ·H 2 BH 4 = K 4 MK 2 (do BH 4 / / MK 2 , BH 2 / / MK 4 )Suy ra BH 2 H 4 : MK 4 K 2 ⇒ H 2 H 4 / / K 4 K 2 (do BH 4 / / MK 2 , BH 2 / / MK 4 )Tương t suy ra H1 , H 2 , H 3 , H 4 th ng hàng trên d 2 và d1 / / d 2 . nh lý 6:Các trung i m c a các o n th ng AD, BE, CF cùng n m trên m t ư ng th ngd3 ( ư ng th ng Newton hay ư ng th ng Gass ). nh lý 6 là m t k t qu r t n i ti ng và có nhi u cách ch ng minh khác nhau. ây ta còn có m t k t qu n a xoay quanh ư ng th ng này ư c trình bày trong nh lý 7 dư i ây. K t h p các nh lý này ta có m t cách ch ng minh khác kháthú v cho c hai. nh lý 7: ư ng th ng Newton vuông góc v i c ...