Định lý Vectơ và các ứng dụng

Nhắc lại và mở rộng một số vấn đề đa thức. Trong toán học, một vectơ là một phần tử trong một không gian vectơ, được xác định bởi ba yếu tố: điểm đầu (hay điểm gốc), hướng (gồm phương và chiều) và độ lớn (hay độ dài). Vectơ đơn vị là vectơ có độ dài bằng 1, là vectơ quy ước để so sánh.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Định lý Vectơ và các ứng dụngNhững người thực hiện: Phạm Hy Hiếu Nguyễn Anh Tuấn Phan Thiện Tôn Nguyễn Thị Xuân Ngọc Nguyễn Dương Bạch Mai Tôn Nữ Quỳnh Trân Nguyễn Mai Phương Quách Thuỷ Tiên Trần Ngọc Ngân Phan Huỳnh Anh Mai Nguyên Minh Uyên 1 ĐNN H LÝ VIÈTE VÀ CÁC ỨN G DỤN G1. N HẮC LẠI VÀ MỞ RỘN G MỘT SỐ VẤN ĐỀ VỀ ĐA THỨC:Hàm số { {: W → W được gọi là một đa thức nếu { { ≡ IJJJ hoặc { { có dạng: 1.1. N hắc lại về đa thức: { { = I + I# + I$ $ + ⋯ + I # # +IKhi đó, I , I# , … , I gọi là các hệ số của đa thức. I được gọi là hệ số cao nhất, I được gọi là hệ số tự do.N ếu I = 1 thì đa thức { { gọi là đa thức chuNn tắc hay đa thức mônic. N ếu I ≠ 0 thì đa thức { { gọi là đathức bậc J và ta kí hiệu: deg { { = J. Hiển nhiên, nếu { { ≡ 0 thì deg { { = 0.Để cho gọn, đôi khi người ta còn viết: { {= I = I ( (Cách viết đằng sau gọi là cách viết ngược, với {I , I# , … , I { = {I , I # , … , I {.Cho { { = I + I# + I$ $ + ⋯ + I +I . Khi đó, ∀ = 1, J: 1.2. Đa thức trên các tập số: # #N ếu I ∈ thì ta nói { { ∈ [ ] N ếu I ∈ W thì ta nói { { ∈ W[ ]Các trường hợp riêng: N ếu I ∈ W thì ta nói { { ∈ W[ ] N ếu I ∈ thì ta nói { { ∈ [ ]Rất rõ ràng, W[ ] ⊃ W[ ] ⊃ [ ]. 1.3. Các phép tính trên đa thức: { { = I + I# + I$ $ + ⋯ + I # # +ICho 2 đa thức sau: { { = I + I# + I$ $ + ⋯ + I # # +ITrong đó, I I ≠ 0. Ta định nghĩa một số phép toán cơ bản trên đa thức như sau:Có 3 phép tính cơ bản thường dùng đối với 2 đa thức là phép cộng, kí hiệu là { { + { {; phép trừ kí hiệu là a. Các phép tính cơ bản: { { − { { và phép hợp, kí hiệu là ∘ { { = { {a. deg { { ± { { ≤ max{ ; J}VD1.3a.1: Chứng minh rằng:b. deg { {. { { = + Jc. deg ∘ { { = JLời giải: Rõ ràng ta chỉ cần xét các hệ số cao nhất I và I của 2 đa thức.a. N ếu > J thì đa th c { { = { { + { { có dạng: { {=I +I # # + ⋯ + {I + I { + {I # + I # { # + ⋯ + {I# + I# { + {I + I {Vì I ≠ 0 nên theo định nghĩa, deg { { = = max{ ; J}Tương tự với < J, ta cũng có deg { { = J = max{ ; J}N ếu = J, ta có: { { = {I + I { + {I # + I # { # + ⋯ + {I# + I# { + {I + I {Do { { có hệ số cao nhất là I = I + I nên deg { { ≤ J = max{ ; J}, đẳng thức xảy ra khi I + I = 0.Từ các trường hợp vừa xét, ta có deg { { + { { ≤ max{ ; J} (đpcm).Với trường hợp { { = { { − { {, ta đặt { { = − { { thì { { = { { + { { và theo điều vừa nóitrên, ta cũng có deg { { − { { ≤ max{ ; J} (đpcm).b. Số hạng cao nhất của { {. { { là I I , mà I I ≠ 0 nên deg { {. { { = + J (đpcm).c. Ta có: ∘ { { = { { =I { {+I # #{ { + ⋯ + I# { { + I , mà theo câu b thì: deg { { ∘ { { = deg { { = deg { {. { { … { { = J deg { { = J (đpcm). 2Cho 2 đa thức { { và { { ∈ W[ ] sao cho deg { { ≥ deg { {. b. Phép chia đa thức:Khi dó, tồn tại duy nhất hai đa thức { { và { { ∈ W[ ] sao cho deg { { < deg { { và: { { = { {. { { + { { { { gọi là thương và { { gọi là dư trong phép chia đa thức { { cho đa thức { {Chú ý rằng nếu deg { { < deg { { thì { { ≡ 0 và { { ≡ { {.N ếu { { ≡ 0 thì ta nói rằng { { chia hết cho { { hay { { chia hết { { và kí hiệu: { { ⋮ { { hay { {| { {.VD1.3b.1: Tìm dư trong phép chia { { = $ + + 1 cho { { = $ − 1.Đặt: { { = { {. { { + { {. Vì deg { { = 2 nên deg { { < 2, do đó { { là đa thức bậc nhất.Lời giải:Lại đặt: { { = I + I với I, I ∈ W. Lần lượt cho = 1 và = −1, với chú ý {1{ = {−1{ = 0, ta có: {1{ = {1{. { { + I + I I+I =3 I=1 ⇔ ⇔ {−1{ = {−1{. { { − I + I −I + I = 1 I=2Vậy đa thức dư trong phép chia cần tìm là { { = + 2 1.4. N ghiệm của đa thức và một số vấn đề liên quan:Cho đa thức { { ∈ W[ ]. Giá trị ∈ W của mà tại đó { { = 0 được gọi là nghiệm của đa th ...