Đồ họa máy tính - Chương 2 Các phép biến đổi hình trên hệ toạ độ - Bài 11

Mặt cong Bezier1. Mặt cong BezierTình hình giống nh- với đ-ờng cong để có thể xây dựng mặt cong chính xác hơn khi cho tr-ớc một số điểm, ng-ời ta nghĩ đến việc xây dựng các mảnh mặt cong nhỏ hơn và sau đó ghép nối chúng lại, mặt cong Bezier là mặt cong có dạng tham số:
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đồ họa máy tính - Chương 2 Các phép biến đổi hình trên hệ toạ độ - Bài 11 Kü thuËt §å ho¹ m¸y tÝnh m Pi ( v) = ∑ Pij G j ( v) j= 0⇒ MÆt cong s cã thÓ viÕt d−íi d¹ng nm ∑ ∑ PijFi ( u)G j ( v) S( u, v) = ( 2) i = 0 j= 0Víi Fi(u), Gj(v) lµ c¸c hµm c¬ sëNÕu chän hµm c¬ së u − ui n ∏ n Fi ( u) = li ( u) = k = 0 u k − ui k ≠i v− vj m ∏ G j ( v) = l m ( v) = − vj j k =0 v k k≠ jkhi ®ã nm ∑ ∑ Pij l m ( v)l in ( u) S( u, v) = (**) j i = 0 j= 0Chóng ta thÓ thÊy mÆt cong s ®i qua ®iÓm Ui,vj S(ui,vj)=PijC«ng thøc (**) gäi lµ c«ng thøc mÆt cong LagrangMÆt cong Lagrang cã −u ®iÓm nã ®i qua nxm ®iÓm cho tr−íc vµ cã ®¹o hµm cao tuúý. Do vËy nãi chung mÆt cong Lagrang cã sai sè rÊt lín so víi mÆt cong thùc ph¶ix©y dùng $11. MÆt cong Bezier1. MÆt cong BezierT×nh h×nh gièng nh− víi ®−êng cong ®Ó cã thÓ x©y dùng mÆt cong chÝnh x¸c h¬n khicho tr−íc mét sè ®iÓm, ng−êi ta nghÜ ®Õn viÖc x©y dùng c¸c m¶nh mÆt cong nhá h¬nvµ sau ®ã ghÐp nèi chóng l¹i, mÆt cong Bezier lµ mÆt cong cã d¹ng tham sè: nm S( u, v) = ∑ ∑ Pij B m ( u) Bin ( v) (2) j i = 0 j= 0ë ®©y Bm , Bi lµ c¸c ®a thøc Berstein bËc m vµ n, uo≤u≤u1 , vo≤v≤v1 j n 58 Kü thuËt §å ho¹ m¸y tÝnh u=uo+q(u1-uo) v=vo+r(v1-vo)C¸c ®iÓm Pij ®−îc gäi lµ c¸c ®iÓm kiÓm tra cña mÆt cong Bezier. Cã thÓ minh ho¹c¸c ®iÓm nµy s¾p xÕp theo trËt tù sauSuy tõ c¸ch x©y dùng ®−êng cong Bezier, chóng ta cã thÓ nhËn thÊy 4 ®iÓmPoo,Pom,Pno,Pnm lµ nh÷ng ®iÓm ch¾c ch¾n thuéc mÆt cong S. XÐt tr−êng hîpn=m=3 khi ®ã mèi liªn hÖ vÒ gi¸ trÞ vµ ®¹o hµm riªng ë c¸c nót Poo,Pom,Pno,Pnm®−îc cho bëi c«ng thøc sau:⎡ S( u 0 , v 0 ) S( u 0 , v 1 ) S v ( u 0 , v 0 ) S v ( u 0 , v1 ) ⎤⎢ ⎥ S( u 1 , v1 ) S v ( u1 , v 0 ) S v ( u1 , v 1 ) ⎥ S( u1 , v 0 )⎢ =⎢S u ( u 0 , v 0 ) S u ( u 0 , v 1 ) S uv ( u 0 , v 0 ) S uv ( u 0 , v 1 ) ⎥⎢S ( u , v ) S (u , v ) S (u , v ) S (u , v ) ⎥⎣u 1 0 1⎦ u 1 1 uv 1 0 uv 1 −3 ⎡ ⎤ ⎢1 0 0⎥⎡1 0⎤ Δv 0 0 ⎡ P00 P01 P02 P03 ⎤ ⎢ ⎥⎢0 1⎥ ⎢ 3 P11 P12 P13 ⎥ ⎢0 0 0 0 0⎥⎢ −3 3 ⎥ P Δv ⎢ 10 ⎥⎢ ⎥⎢ 0⎥ 0 −3 ⎥ ⎥ ⎢ P20 P21 ...