Đồ họa máy tính - Chương 6: Hình học Fractal

Hình học FractalI. Sự cần thiết của hình học Fractal Hình học là ngôn ngữ đặc biệt để mô phỏng tự nhiên, và hình học Euclide đã ngự trị một thời gian dài trong lĩnh vực mô tả, xử lý các hình dạng của tự nhiên. Tuy nhiên trong thế giới thực có một lớp hình dạng không dễ dàng được mô tả bởi hình học Euclide như: núi, mây, trời, biển ... Đặc tính của những đối tượng này là khi phóng to một phần chi tiết nào đó thì sẽ có được dạng lặp lại của toàn...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đồ họa máy tính - Chương 6: Hình học FractalCho; }Mhvanban;END. Chương VI. Hình học FractalI. Sự cần thiết của hình học Fractal Hình học là ngôn ngữ đặc biệt để mô phỏng tự nhiên, và hình học Euclide đã ngự trịmột thời gian dài trong lĩnh vực mô tả, xử lý các hình dạng của tự nhiên. Tuy nhiên trongthế giới thực có một lớp hình dạng không dễ dàng được mô tả bởi hình học Euclide như:núi, mây, trời, biển ... Đặc tính của những đối tượng này là khi phóng to một phần chi tiếtnào đó thì sẽ có được dạng lặp lại của toàn hình, đặc tính đó được gọi là tự tương tự (self-similarity). Hình học Fractal (viết tắt của Fractional – phân đoạn) ra đời để thích nghi vớiviệc mô phỏng lớp hình dạng đó: lớp hình có đặc tính “Fractal” – tự tương tự. (Xem và chạythử file fractal.exe) Đường cong Fractal không thể được mô tả như đường hai chiều thông thường, mặtFractal không thể mô tả như mặt 3 chiều mà đối tượng Fractal có thêm chiều hữu tỷ. Mặc dùcác đối tượng Fractal trong từng trường hợp cụ thể chỉ chứa một số hữu hạn chi tiết, nhưngnó chứa đựng bản chất cho phép mô tả vô hạn chi tiết, tức là tại một thời điểm xác định thìlà hữu hạn, nhưng xét về tổng thể là vô hạn vì bản chất Fractal cho phép phóng đại lên mộtmức độ bất kỳ một chi tiết tùy ý. Hiện nay hình học Fractal và các khái niệm của nó đã trở thành công cụ trung tâmtrong các lĩnh vực của khoa học tự nhiên như: vật lý, hóa học, sinh học, địa chất học, khítượng học, khoa học vật liệu ... Để hiểu thế nào là hình học Fractal, ta hãy so sánh với hình học Euclide cổ điển Hình học Euclide Hình học Fractal1) Xuất hiện từ rất lâu, trên 2000 năm trước 1) Xuất hiện năm 1975 (năm nhà toán học Benoit Mandelbrot công bố công trình về tập Mandelbrot)2) Vật thể hình học Euclide có kích thước 2) Không có kích thước xác định đặc trưng3) Thích hợp với việc mô tả những thực thể 3) Thích hợp để mô tả những vật thể trong được tạo ra bởi con người. tự nhiên4) Được mô tả bởi công thức (phương trình 4) Được mô tả bởi thuật toán lặp tham số, phương trình bề mặt, quỹ đạo ...)Hình học Euclide cho sự mô tả gọn gàng, chính xác những vật thể được tạo bởi con người(khối lập phương, mặt trụ, mặt cầu ... ) nhưng không thích hợp khi dùng để mô tả nhữnghình dạng tự nhiên vì đòi hỏi một khối lượng tính toán (số và bậc của phương trình, ố lượngbiến ... ) rất cồng kềnh mà vẫn không chính xác. Còn sự mô tả của hình học Fractal (cácthuật lặp) lại đặc biệt thích hợp với việc tạo sinh bằng máy tính. Thực thể Fractal là kết quảcủa một quá trình lặp theo một thuật toán xác định, được tạo sinh lý tưởng bằng máy tính vàrất khó được tạo một cách thủ công.http://www.ebook.edu.vn 30II Một số khái niệm cơ bảnCác thực thể Fractal có 3 đặc tính quan trọng: • Tự tương tự (self-similarity) • Tự tương tự đa phần (statistical self-similarity) • Tự AffineChúng ta chỉ khảo sát đặc tính đầu tiên và quan trọng nhất: đặc tính tự tương tự (self-similarity) Một thực thể có đặc tính tự tương tự nếu nó là hợp của N tập con không giao nhau,mỗi tập con được tạo sinh từ tập gốc qua các phép biến đổi như: co dãn, dịch chuyển, quay. Phát biểu một cách hình thức hơn, xét tập S gồm những điểm:x = (x1, x2, ... xE) trong không gian E chiềuDưới phép đồng dạng với hệ số co 0 < T < 1, tập S biến thành tập TS với những điểm:Tx = (Tx1, Tx2, ... TxE)Tập S là tự tương tự nếu S là hợp của N tập con không giao nhau, mỗi tập con tương đươngvới TA (có thể sai khác một phép tịnh tiến, quay hoặc vị tự). Khi đó số chiều của S đượcđịnh nghĩa bởi log N D= 1 log TTập S cũng được gọi là tự tương tự nếu các tập con được tạo sinh từ tập gốc theo các hệ sốco Ti khác nhau. Trong trường hợp này số chiều D được tính từ công thức sau N ∑T D =1 i i =1III Ví dụ minh họaTa hãy xét một ví dụ minh họa tính tự tương tự của một thực thể Fractal kinh điển: đườngVon-Koch. Đường Von- Koch (còn gọi là “Bông hoa tuyết Von-Koch” như trongWikipedia) là một trong những đường Fractal được công bố sớm nhất, vào năm 1904 bởinhà toán học Thụy Điển Helge Von Koch. Thuật toán lặp cho đường Von-Koch gồm nhữngbước sau: a) Một đoạn thẳng ...