Đồ họa máy vi tính - Chương 6

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA BA CHIỀU Các phép biến đổi trong đồ họa ba chiều là sự mở rộng của các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều bằng cách thêm vào việc xem xét tọa độ thứ ba, tọa độ z. Bây giờ, chúng ta sẽ tịnh tiến một đối tượng thông qua việc mô tả một vector tịnh tiến ba chiều. Vector này xác định độ dời của vật theo ba chiều trong không gian. Tương tự như vậy, ta có thể thu phóng đối tượng với các tỉ lệ biến đổi theo cả...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đồ họa máy vi tính - Chương 6 CHƯƠNG 6 CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TRONG ĐỒ HỌA BA CHIỀU Các phép biến đổi trong đồ họa ba chiều là sự mở rộng của các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều bằng cách thêm vào việc xem xét tọa độ thứ ba, tọa độ z. Bây giờ, chúng ta sẽ tịnh tiến một đối tượng thông qua việc mô tả một vector tịnh tiến ba chiều. Vector này xác định độ dời của vật theo ba chiều trong không gian. Tương tự như vậy, ta có thể thu phóng đối tượng với các tỉ lệ biến đổi theo cả ba chiều. Sự mở rộng của phép quay ít hiển nhiên hơn hai phép biến đổi cơ sở trên. Khi khảo sát các phép quay trong mặt phẳng hai chiều Oxy, ta chỉ cần khảo sát phép quay quanh một tâm, hay nói cách khác, phép quay quanh một trục vuông góc với mặt phẳng Oxy. Trong không gian ba chiều, ta có thể chọn một trục quay có phương bất kì. Phần lớn các hệ đồ họa xử lí phép quay trong không gian ba chiều như là tổ hợp của ba phép quay với trục quay là các trục tọa độ x, y và z. Như vậy, người dùng có thể dễ dàng xây dựng một phép quay bất kì bằng cách mô tả trục quay và góc quay. Cũng như khi trình bày các phép biến đổi trong đồ họa hai chiều, trong chương này, ta sẽ khảo sát các phép biến đổi trong đồ họa ba chiều dưới dạng ma trận. Một chuỗi bất kì các phép biến đổi sẽ được biểu diễn bằng một ma trận duy nhất là tích của các ma trận tương ứng với các phép biến đổi thành phần. 1. CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI HÌNH HỌC Hình 6.1 – Một cảnh ba chiều được tạo nhờ các phép biến đổi Phép tịnh t iến, quay, biến đổi tỉ lệ, và phép biến dạng là các ví dụ của các phép biến đổi hình học. Chúng còn được biết tới như là các phép biến đổi affine cơ sở. Trong số đó, phép quay có thể nói là quan trọng và hữu dụng nhất vì nó cho phép chúng ta nhìn các đối tượng theo các hướng khác nhau, điều này cho phép chúng ta cảm nhận các hình vẽ ba chiều trực quan hơn, dễ chịu hơn. Ta có thể tạo ra nhiều phiên bản của cùng một đối tượng bằng cách vẽ đối tượng này sau khi áp dụng một dãy các phép biến đổi hình học lên nó (xem hình 6.1). 1.1. Một số khái niệm liên quan 1.1.1. Phép biến đổi affine Phép biến đổi affine là phép biến đổi tuyến tính, khả nghịch. Phép biến đổi này bảo toàn tính song song của các đường thẳng cũng như bảo toàn tính t ỉ lệ về khoảng cách của các đoạn thẳng. Tuy nhiên, phép biến đổi này không bảo toàn góc nghiêng và chiều dài các đoạn thẳng. Các phép biến đổi này cũng bảo toàn tỉ lệ về khoảng cách (xem thêm chương 3) Các hệ trục tọa độ theo quy ước bàn tay phải và bàn tay trái Hình 6.2 – Các hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải (a) và quy ước bàn tay trái (b) Hệ tọa độ Descartes ba chiều có thể định nghĩa theo quy ước bàn tay trái hoặc bàn tay phải (xem hình 6.2). Định nghĩa Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay phải là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều  kiện: Nếu để bàn tay phải sao cho ngón cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay lại, chiều các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y. Hệ tọa độ theo quy ước bàn tay trái là hệ tọa độ với các trục x, y, z thỏa điều kiện:  Nếu để bàn tay trái sao cho ngón cái hướng cùng chiều với trục z, khi nắm tay lại, chiều các ngón tay chuyển động theo hướng từ trục x đến trục y. Hệ tọa độ thuần nhất Trong hệ tọa độ thuần nhất, mỗi điểm trong không gian Descartes được biểu diễn bởi một bộ bốn tọa độ trong không gian 4 chiều thu gọn . Để tiện lợi, người ta thường chọn h=1. Như vậy, một điểm (x, y, z) trong hệ tọa độ Descartes sẽ biến thành điểm (x, y, z, 1) trong hệ tọa độ thuần nhất ; còn điểm (x, y, z, w) trong hệ tọa độ thuần nhất (với w ¹ 0) sẽ tương ứng với điểm (x/w, y/w, z/w) trong hệ tọa độ Descartes (xem hình 6.3). Hình 6.3 – Các điểm trong hệ tọa độ thuần nhất và Descartes Dạng ma trận của phép biến đổi affine trong hệ tọa độ thuần nhất Hình 6.4 – Dạng tổng quát của phép biến đổi affine ba chiều Phép biến đổi affine ba chiều biến điểm P thành điểm Q có dạng : , trong đó và M là ma trận biến đổi 4x4 trong hệ tọa độ thuần , nhất là vector tịnh tiến. Một số tính chất của các phép biến đổi ba chiều : Tính chất đường thẳng được bảo toàn. Nghĩa là, một đường thẳng trong không  gian ba chiều khi biến đổi sẽ thành một đường thẳng. Tính song song được bảo toàn. Nghĩa là, hai đường thẳng song song khi biến đổi  cũng sẽ thành hai đường thẳng song song. Tính t ỉ lệ về khoảng cách được bảo toàn. Nghĩa là, ảnh của một điểm P chia đoạn  thẳng AB theo tỉ lệ f, sẽ chia đoạn thẳng A’B’ theo tỉ lệ f, với A’B’ là ảnh của đoạn thẳng AB. 1.2. Phép tịnh tiến Hình 6.5 – Phép tịnh tiến với vector tịnh tiến tr=(trx, try, trz) Vector tịnh tiến tr trong phép biến đổi ba chiều có một tác động rất trực quan: mỗi điểm được dịch đi một khoảng là trx, try, trz theo ba trục. Ma trận M cho phép tịnh tiến có dạng như sau: (6.1) 1.3. Phép biến đổi tỉ lệ Phép biến đổi tỉ lệ trong ba chiều là một sự mở rộng của phép biến đổi tỉ lệ trong hai chiều : (6.2) Trong đó các hằng số là các hệ số tỉ lệ tương ứng theo các trục x, y, z. Hình 6.6 – Phép biến đổi tỉ lệ Như hình 6.6, đối tượng được phóng to gấp đôi, đồng thời với tác động của phép biến đổi làm cho đối tượng bị đẩy ra xa gốc tọa độ hơn. Khi các hệ số tỉ lệ bằng nhau, ta có phép biến đổi đồng dạng. Trong phép biến đổi , gốc tọa độ O sẽ có ảnh là chính nó. Ta gọi gốc tọa độ là điểm bất động (fixed point) của S, hay còn gọi O là tâm của phép biến đổi. Tổng quát hơn, ta có thể mô tả một phép biến đổi tỉ lệ theo một tâm bất kì bằng một dãy ba phép biến đổi sau: Tịnh tiến điểm bất động ...