Đối xứng động lực SO(10,2) trong bài toán MICZ-Kepler chín chiều

Trong các công trình trước, các tác giả đã xây dựng bài toán MICZ-Kepler 9 chiều như là bài toán Coulomb 9 chiều mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ SO(8). Sau khi sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán trên trở thành bài toán dao động tử điều hòa đẳng hướng trong không gian 16 chiều. Điều này gợi ý cho ta về việc xây dựng nhóm đối xứng động lực cho trường hợp không gian 9 chiều tương tự như trường hợp 5 chiều và 3 chiều. Trong công trình này, nhóm tác giả sẽ chỉ ra đó chính là nhóm SO(10,2) đồng thời xây dựng dạng tường minh của nhóm này.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Đối xứng động lực SO(10,2) trong bài toán MICZ-Kepler chín chiều Kỷ yếu Hội nghị sinh viên NCKH ĐỐI XỨNG ĐỘNG LỰC SO(10,2) TRONG BÀI TOÁN MICZ-KEPLER CHÍN CHIỀU Trương Trang Cát Tường (SV năm 4, Khoa Vật lý) GVHD: PGS-TSKH Lê Văn Hoàng 1. Mở đầu Bài toán MICZ-Kepler 3 chiều được nghiên cứu từ rất lâu [1], [2], [3]; nhóm đối xứng động lực của nó được tìm ra là SO(4,2), cũng chính là nhóm đối xứng động lực của bài toán Coulomb 3 chiều [2]. Như ta biết, bài toán MICZ-Kepler chính là bài toán Coulomb với sự có mặt của đơn cực từ Dirac. Việc giữa hai bài toán có chung nhóm đối xứng động lực SO(4,2) cho ta thấy sự xuất hiện của đơn cực từ không phá vỡ tính đối xứng của bài toán Coulomb 3 chiều. Điều này tương đối thú vị và vì vậy khi mở rộng bài toán MICZ-Kepler cho không gian nhiều chiều [4], [5], [7], [8], [10], một việc quan trọng là xét tính đối xứng của bài toán. Do việc xây dựng nhóm đối xứng động lực không phải là việc dễ dàng, ta thấy chỉ có thêm một trường hợp bài toán MICZ- Kepler 5 chiều là được xây dựng nhóm đối xứng động lực SO(6,2) [4], [7], [8]. Với trường hợp 5 chiều này thì bài toán MICZ-Kepler có mối quan hệ trực tiếp với dao động tử điều hòa 8 chiều. Chính dựa vào mối quan hệ này mà nhóm đối xứng động lực cho bài toán đã được xây dựng. Trong các công trình [5], [6], các tác giả đã xây dựng bài toán MICZ-Kepler 9 chiều như là bài toán Coulomb 9 chiều mở rộng với sự có mặt của đơn cực từ SO(8). Sau khi sử dụng phép biến đổi Hurwitz mở rộng thì bài toán trên trở thành bài toán dao động tử điều hòa đẳng hướng trong không gian 16 chiều. Điều này gợi ý cho ta về việc xây dựng nhóm đối xứng động lực cho trường hợp không gian 9 chiều tương tự như trường hợp 5 chiều và 3 chiều. Trong công trình này, chúng tôi sẽ chỉ ra đó chính là nhóm SO(10,2) đồng thời xây dựng dạng tường minh của nhóm này. 2. Bài toán MICZ-Kepler 9 chiều Phương trình Hamilton của bài toán MICZ-Kepler 9 chiều [6] có thể viết như sau: ⎧1 1 Z⎫ ⎨ πˆ λ πˆ λ + 2 Qˆ jk Qˆ jk − ⎬ Ψ (r ) = E Ψ (r ) (1) ⎩2 8r r⎭ trong đó Z là điện tích hạt nhân trong tương tác Coulomb; E là năng lượng của hệ; hệ đơn vị nguyên tử được sử dụng m = e = = = 1 . Trong phương trình (1), toán tử xung lượng được định nghĩa: ∂ ∂ πˆ j = −i − Ak (r) Qˆ kj , πˆ9 = −i (2) ∂x j ∂x9 242 Năm học 2010 – 2011 với Qˆ jk ( j , k = 1, 2,...,8) là các vi tử của đại số SO(8), thỏa mãn các hệ thức giao hoán: ⎣ ⎦ ( ⎡Qˆ jk ; Qˆ lm ⎤ = i δ mj Qˆ kl − δ kl Qˆ mj + δ jl Qˆ mk − δ mk Qˆ jl ) (3) Trong các công thức trên và từ đây về sau, nếu như không có giải thích thêm thì sự lặp lại các chỉ số theo mẫu tự Latin ( j ) có nghĩa là lấy tổng theo toàn miền thay đổi chỉ số từ 1 đến 8, còn nếu là lặp lại các chỉ số bằng mẫu tự Hy-lạp (λ ) nghĩa là lấy tổng theo chỉ số đó từ 1 đến 9. Tương tác đơn cực đưa vào qua mô hình SO(8) thông qua các toán tử Qˆ jk và thế véc-tơ, biểu diễn qua các đại lượng: xk Ak ( r ) = (4) r ( r + x9 ) Từ (4) trong công trình [5] đã chỉ ra có thể xây dựng một bộ bảy thế vector, tương ứng với đơn cực trong không gian 9 chiều. Từ đây trở đi ta sẽ gọi là đơn cực SO(8). Từ tính chất phản đối xứng Qˆ jk = −Qˆ kj ta có tất cả là 28 vi tử khác nhau. Ngoài ra trong công thức của toán tử xung lượng (2) có 7 toán tử Qˆ jk tham gia. Chính vì vậy, hàm sóng của phương trình (1) mô tả chuyển động của đơn cực SO(8) trong trường Coulomb ngoài phần 9 chiều của không gian hình thể, còn phần không gian 7 chiều ứng với nhóm SO(8): Ω = R 9 ( xλ ) ⊗ S 7 . Trong các phần tính toán sau ta sẽ dùng biểu diễn giải tích Qˆ jk (φ , α ) của đại số SO(8) qua tham số là 7 góc (φ1 , φ2 , φ3 , α1 , α 2 , α 3 , α 4 ) đưa ra trong [5], [6]. Khi đó hàm sóng có thể ký hiệu cùng với các biến số mới như sau: Ψ (r, φ , α ) . 3. Mối liên hệ với dao động tử điều hòa Xét phép biến đổi Hurwitz mở rộng như sau [5]: xk = 2(Γ k ) st us vt ...