Danh mục

(Dự thảo) Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên và ứng dụng trong phương trình toán tử ngẫu nhiên

Số trang: 27      Loại file: pdf      Dung lượng: 479.96 KB      Lượt xem: 24      Lượt tải: 0    
Jamona

Hỗ trợ phí lưu trữ khi tải xuống: 5,000 VND Tải xuống file đầy đủ (27 trang) 0
Xem trước 3 trang đầu tiên của tài liệu này:

Thông tin tài liệu:

Luận án trình bày nội dung định lý về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các kết quả nghiên cứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên; từ đó áp dụng để giải nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
(Dự thảo) Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Điểm bất động của ánh xạ ngẫu nhiên và ứng dụng trong phương trình toán tử ngẫu nhiên ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN PHẠM THẾ ANH ĐIỂM BẤT ĐỘNG CỦA ÁNH XẠ NGẪU NHIÊN VÀ ỨNG DỤNG TRONG PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ NGẪU NHIÊN Chuyên ngành: Lý thuyết Xác suất và Thống kê toán học Mã số: 62 46 01 06 (Dự thảo) TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội- 2014 Công trình được hoàn thành tại: ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN-ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI Người hướng dẫn khoa học: GS.TSKH Đặng Hùng Thắng Phản biện : ..................................................... Phản biện : ..................................................... Phản biện : ..................................................... Luận án sẽ được bảo vệ tại Hội đồng cấp ĐHQG chấm luận án tiến sĩ họp tại trường Đại học Khoa học tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà nội vào hồi ……..giờ……….ngày…….tháng……..năm ………. Có thể tìm hiểu luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm Thông tin-Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội MỞ ĐẦU Lý thuyết phương trình toán tử ngẫu nhiên, điểm bất động ngẫu nhiên được nghiên cứu từ những năm 1950 ở trường Prague bởi O. Hans, A. Spacek và trong các công trình của A. T. Bharucha-Reid năm 1972, 1976. Mở rộng của bài toán điểm bất động ngẫu nhiên là bài toán điểm trùng nhau ngẫu nhiên, được nghiên cứu đối với các toán tử đa trị, giữa cặp toán tử đơn trị và đa trị. Mở rộng các kết quả trên, ta xây dựng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên Φ từ LX (Ω) vào LX (Ω) mà hạn chế của Φ trên X trùng với toán tử ngẫu 0 0 nhiên f . Nội dung của luận án bao gồm định lý về sự thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, các kết quả nghiên cứu về điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Từ đó áp dụng để giải nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Luận án gồm 3 chương. Chương 1 trình bày một cách tổng quan về các khái niệm và kết quả liên quan đến định lý điểm bất động và điểm trùng nhau ngẫu nhiên của các toán tử ngẫu nhiên. Các kết của chương này được trích dẫn và không có chứng minh chi tiết. Chương 2 trình bày khái niệm toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, định lý thác triển toán tử ngẫu nhiên thành toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên, tính liên tục theo xác suất của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Tiếp theo, chương này trình bày các kết quả nghiên cứu về điểm bất động của một số dạng toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Cuối cùng, một số kết quả về điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên được đề cập đến. Nội dung chính của chương này các định lý về sự tồn tại điểm bất động và điểm trùng nhau của toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Chương 3 trình bày kết quả nghiên cứu về ứng dụng các định lý điểm bất động, điểm trùng nhau của các toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. Các ứng dụng đó là chứng minh sự tồn tại nghiệm của phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên và sử dụng định lý điểm trùng nhau ngẫu nhiên để chứng minh sự tồn tại điểm bất động ngẫu nhiên. Nội dung chính của chương này là các định lý về sự tồn tại nghiệm phương trình toán tử hoàn toàn ngẫu nhiên. 1 CHƯƠNG 1 KIẾN THỨC CHUẨN BỊ VÀ TỔNG QUAN 1.1 Các khái niệm cơ bản 1.1.1 Định nghĩa. Ánh xạ f : Ω × X → Y được gọi là toán tử ngẫu nhiên từ X vào Y nếu với mỗi phần tử x ∈ X ánh xạ ω → f (ω, x) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị xác định trên X . Toán tử ngẫu nhiên từ X vào X được gọi là toán tử ngẫu nhiên trên X . Toán tử ngẫu nhiên từ X vào R được gọi là phiếm hàm ngẫu nhiên. 1.1.2 Định nghĩa. Cho f, g : Ω × X → Y là hai toán tử ngẫu nhiên. Toán tử ngẫu nhiên f được gọi là một bản sao của toán tử ngẫu nhiên g nếu với mọi x ∈ X f (ω, x) = g(ω, x) h.c.c., (1.1) trong đó tập các ω mà f (ω, x) = g(ω, x) nói chung phụ thuộc vào x. 1.1.3 Định nghĩa. 1) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là đo được nếu ánh xạ f : Ω × X → Y là F × B(X)-đo được. 2) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là liên tục nếu với mỗi ω quỹ đạo f (ω, .) của f là toán tử liên tục từ X vào Y . 3) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là Lipschitz nếu với mỗi ω quỹ đạo f (ω, .) là toán tử Lipschitz, nghĩa là tồn tại số thực k(ω) sao cho với mọi x, y ∈ X d(f (ω, x), f (ω, y)) ≤ k(ω)d(x, y). (1.2) 4) Toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → Y được gọi là co nếu f là toán tử Lipschitz với k(ω) ∈ [0; 1), ∀ω ∈ Ω. 1.1.4 Định lý. ([29]) Cho X, Y là các không gian Polish và f : Ω × X → Y là toán tử ngẫu nhiên liên tục. Khi đó f là toán tử ngẫu nhiên đo được. Hơn nữa nếu ξ : Ω → X là biến ngẫu nhiên thì ánh xạ ω → f (ω, ξ(ω)) là một biến ngẫu nhiên Y -giá trị. 2 1.1.5 Định nghĩa (Điểm bất động ngẫu nhiên). Biến ngẫu nhiên ξ : Ω → X gọi là điểm bất động ngẫu nhiên của toán tử ngẫu nhiên f : Ω × X → X nếu f (ω, ξ(ω)) = ξ(ω) h.c.c. (1.3) Ta nhận thấy nếu f : Ω × X → X có điểm bất động ngẫu nhiên thì với mỗi ω ∈ Ω, f (ω, .) có điểm bất động trong X . Ngược lại không đúng. 1.1.6 Định nghĩa. Phương trình toán tử ngẫu nhiên đơn trị là phương trình có dạng f (ω, x) = g(ω, x) (1.4) với f, g : ...

Tài liệu được xem nhiều:

Tài liệu liên quan: