Dự thảo Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử

Luận án "Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử" nghiên cứu và đề xuất một số phương pháp kết hợp giải các bài toán dạng chấp nhận lồi dạng tổng quát (GCFP) trong không gian Hilbert và Banach. Để biết rõ hơn về nội dung chi tiết, mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dự thảo Tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Một số phương pháp kết hợp giải hệ phương trình toán tử ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐẶNG VĂN HIẾU MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP KẾT HỢP GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TOÁN TỬ Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 62460112 DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌC Hà Nội - 2016 Công trình được hoàn thành tại: Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội Người hướng dẫn khoa học: GS. TSKH. Phạm Kỳ Anh Phản biện 1: ............................................ Phản biện 2: ............................................ Phản biện 3: ............................................ Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận án tiến sĩ họp tại.............................................. vào hồi giờ năm Có thể tìm thấy luận án tại: - Thư viện Quốc gia Việt Nam - Trung tâm thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà Nội ngày tháng MỞ ĐẦU Nhiều bài toán trong khoa học và kĩ thuật như bài toán khôi phục ảnh, bài toán xử lý tín hiệu, bài toán tối ưu, bài toán cân bằng v.v. dẫn tới giải bài toán chấp nhận lồi sau đây. Bài toán 0.1 (CFP - Convex Feasibility Problem). Cho Ci , i = 1, . . . , N là các tập con lồi đóng khác rỗng của không gian Hilbert H hoặc Banach X. Bài toán CFP được phát biểu như sau: Tìm điểm x ∗ sao cho x ∗ ∈ C := N Ci . (1) i =1 Dạng đơn giản nhất của bài toán CFP là tìm điểm chung của các tập lồi cho trước (dạng hiển). Khi đó, kĩ thuật phổ biến giải bài toán CFP là sử dụng phép chiếu lên các tập lồi. Một số phương pháp điển hình như phương pháp chiếu lặp tuần tự (xoay vòng), phương pháp chiếu lặp đồng thời (song song) hoặc phương pháp lặp khối. Tuy nhiên trong thực tế hầu hết các tập Ci được cho dưới dạng ẩn, tức chúng là nghiệm của các bài toán nào đó. Một ví dụ điển hình trong xử lý ảnh, chúng ta cần khôi phục hình ảnh ban đầu x từ các quan sát f i (chẳng hạn, hình chiếu hoặc các đại lượng vật lý khác liên quan tới ảnh x). Điều này có thể đưa về giải một hệ phương trình toán tử có dạng Fi ( x ) = f i , i = 1, . . . , N, khi đó Ci được cho dưới dạng ẩn là nghiệm của phương trình Fi ( x ) = f i . Trong luận án này, chúng tôi nghiên cứu bài toán chấp nhận lồi dạng tổng quát (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Bài toán GCFP được phát biểu như sau: Bài toán 0.2 (GCFP - Generalized Convex Feasibility Problem). Cho N bài toán P1 , P2 , . . . , P N trong không gian Hilbert H hoặc Banach X và các tập Ci trong Bài toán CFP (1) cho dưới dạng ẩn là tập nghiệm của N bài toán tương ứng Pi , i = 1, . . . , N. Bài toán GCFP cho N bài toán này là: Tìm điểm x ∗ là nghiệm chung của các bài toán P1 , P2 , . . . , P N . (2) Sau đây là một số dạng cơ bản của bài toán GCFP được nghiên cứu trong luận án này. 1. Giải hệ phương trình toán tử (SOE): Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, x ∈ X, i = 1, 2 . . . , N, (3) trong đó Fi : X → Y là toán tử, f i ∈ Y và X, Y là các không gian Hilbert hoặc Banach. Khi đó, Pi là bài toán giải phương trình toán tử Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0 và Ci là tập nghiệm tương ứng của nó. 2. Tìm điểm bất động chung của một họ toán tử (CFPP): Cho C là một tập con lồi đóng và khác rỗng trong không gian Hilbert H hoặc Banach X và Si : C → C, i = 1, . . . , N là một họ hữu hạn các ánh xạ. Bài toán CFPP cho họ ánh xạ Si , i = 1, . . . , N là tìm x ∗ ∈ C sao cho: x ∗ ∈ F := N F ( Si ) . (4) i =1 Bài toán CFPP là trường hợp riêng của bài toán GCFP với Pi là bài toán tìm điểm bất động của ánh xạ Si và Ci = F (Si ) là tập điểm bất động của Si . 3. Nghiệm chung của các bất đẳng thức biến phân (CSVIP): Cho Ai : C → X, i = 1, . . . , N là các toán tử. Bài toán CSVIP cho họ các toán tử Ai , i = 1, . . . , N trên C là tìm x ∗ ∈ C sao cho: Ai ( x ∗ ), x − x ∗ ≥ 0, ∀ x ∈ C, i = 1, . . . , N. 1 (5) Bài toán CSVIP là một dạng bài toán GCFP với Ci = V I ( Ai , C ) là tập nghiệm của bất đẳng thức biến phân cho toán tử Ai trên tập C. 4. Nghiệm chung của các bài toán cân bằng (CSEP): Cho f i : C × C → ℜ, i = 1, . . . , N là các song hàm. Bài toán CSEP cho họ các song hàm f i , i = 1, . . . , N trên C là tìm x ∗ ∈ C sao cho: f i ( x ∗ , y) ≥ 0, ∀y ∈ C, i = 1, . . . , N. (6) Bài toán CSEP cũng là một dạng của bài toán GCFP với Ci = EP( f i , C ) là tập nghiệm của bài toán cân bằng cho song hàm f i trên tập C. Ngoài các bài toán tìm nghiệm chung nêu trên, trong thực tế còn có nhiều bài toán dạng GCFP khác như: Bài toán tìm nghiệm chung hỗn hợp (tức là tìm nghiệm chung của nhiều họ bài toán với nhau) hoặc các bài toán tổng quát hơn, gọi là các bài toán tách, bao gồm bài toán chấp nhận tách, bài toán biến phân tách và bài toán cân bằng tách. Trong hai thập niên gần đây, các bài toán dạng GCFP (3) − (6) được quan tâm và nghiên cứu rộng rãi bởi nhiều nhà toán học. Phần lớn các thuật toán giải chúng là tuần tự (xoay vòng). Ý tưởng chung là sử dụng một thuật toán đã biết để xấp xỉ nghiệm tại mỗi bước cho một bài toán con và việc này được lặp một cách luân phiên xoay vòng qua các bài toán thành phần của hệ ban đầu. Đối với hệ phương trình toán tử SOE (3), nếu không đặt điều kiện gì thêm lên toán tử Fi thì bài toán giải hệ phương trình Ai ( x ) := Fi ( x ) − f i = 0, i = 1, . . . , N là đặt không chỉnh theo nghĩa nó không có lời giải duy nhất với mọi vế phải f i ∈ X (X ∗ ) hoặc lời giải không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu ban đầu ( Fi , f i ). Do tính không ổn định của bài toán đặt không chỉnh nên ta cần chiến lược hiệu chỉnh bài toán. Ý tưởng của phương pháp hiệu chỉnh là thay bài toán ban đầu bằng một họ các bài toán đặt chỉnh mà nghiệm của chúng hội tụ về nghiệm của bài toán ban đầu khi tham số hiệu chỉnh dần tới 0. Hai phương pháp hiệu chỉnh phổ biến được sử dụng cho các bài toán đặt không chỉnh là: Phương pháp hiệu chỉnh Tikhonov và Phương pháp hiệu chỉnh Lavrentiev. Ngoài phương pháp hiệu chỉnh, các phương pháp chỉnh lặp cũng được sử dụng để giải các bài toán đặt không chỉnh. Ý tưởng của các phương pháp chỉnh lặp là kết hợp các phép lặp đã biế ...