Dự thảo tóm tắt Luận Án Tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến

Luận án "Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyến" thực hiện với mục tiêu nhằm đề xuất nghiên cứu các dạng phương trình có tính chất tổng quát hơn, hoặc các dạng tương tự, hoặc các dạng mới nhằm góp phần làm phong phú thêm các kết quả về lý thuyết định tính các phương trình sai phân. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dự thảo tóm tắt Luận Án Tiến sĩ Toán học: Nghiên cứu tính chất nghiệm của một số dạng phương trình và hệ phương trình sai phân phi tuyếnĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊNMai Nam PhongNGHIÊN CỨU TÍNH CHẤT NGHIỆMCỦA MỘT SỐ DẠNG PHƯƠNG TRÌNHVÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH SAI PHÂN PHI TUYẾNChuyên ngành: Toán giải tíchMã số: 62.46.01.01DỰ THẢO TÓM TẮT LUẬN ÁN TIẾN SĨ TOÁN HỌCHà Nội - 2015Công trình được hoàn thành tại: Bộ môn Giải tích, Khoa Toán - Cơ - Tin học,Trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội.Người hướng dẫn khoa học:1. PGS.TS. Vũ Văn KhươngĐại học GTVT2. PGS.TS. Đặng Đình ChâuĐHKHTN-ĐHQG Hà NộiPhản biện :Phản biện :Phản biện :Luận án sẽ được bảo vệ trước Hội đồng cấp Đại học Quốc gia chấm luận ántiến sĩ họp tại .....................................................................................................vào hồi giờ ngày tháng năm 20...Có thể tìm hiểu luận án tại:- Thư viện Quốc gia Việt Nam- Trung tâm Thông tin - Thư viện, Đại học Quốc gia Hà NộiLỜI MỞ ĐẦUPhương trình sai phân chiếm một vị trí quan trọng trong hệ động lực rờirạc. Các phương trình sai phân xuất hiện một cách tự nhiên như các mô hìnhrời rạc hay nghiệm bằng số của các phương trình vi phân-mô hình của nhiềuhiện tượng khác nhau trong các lĩnh vực: sinh vật học, sinh thái học, sinh lýhọc, vật lý, kỹ thuật và kinh tế.Việc nghiên cứu định tính các phương trình và hệ phương trình sai phânphi tuyến đã được tiến hành từ rất lâu, xong nó được phát triển mạnh mẽ từnhững năm 90 của thế kỷ XX và hơn một thập kỷ đầu của thế kỷ XXI, có thểđến các nghiên cứu của R.P. Agarwal, G. Ladas, Kocic, L. Berg, S. Stevi´, M.cR. S Kulenovi´, G. Papaschinopoluos, X. Li,....cNghiên cứu định tính phương trình sai phân tức là nghiên cứu các tính chấtvà dáng điệu các nghiệm của chúng mà không cần xác định công thức nghiệmtường minh. Như chúng ta đã biết, chỉ một số lớp phương trình có dạng đặc biệtmới có thể tìm được công thức nghiệm tường minh của nó. Do đó, nói chungviệc xác định công thức nghiệm của một dạng phương trình sai phân nào đóthường gặp khó khăn, hoặc nếu xác định được thì công thức thường có dạngphức tạp dẫn đến những hạn chế nhất định trong việc nghiên cứu tính chất củachúng. Một số vấn đề tiêu biểu mà lý thuyết định tính phương trình sai phânquan tâm là: tính dao động, tính ổn định nghiệm, dáng điệu tiệm cận nghiệm,tính giới nội, khoảng bất biến của nghiệm,...Trong các nghiên cứu về phương trình sai phân phi tuyến thì nghiên cứu vềphương trình sai phân hữu tỷ cấp lớn hơn 1 luôn đóng vai trò rất quan trọng,vì một số nguồn gốc cho sự phát triển của lý thuyết cơ bản về dáng điệu toàncục các phương trình sai phân phi tuyến bậc cao bắt nguồn từ các kết quả củaphương trình sai phân hữu tỷ.Một số quy luật phát triển của sự vật, hiện tượng trong thực tế được rờirạc hóa dưới dạng phương trình hoặc hệ phương sai phân hữu tỷ, có thể kể đếnmột số mô hình như:• Mô hình sinh trưởng của một loại cây hàng năm:xn+1 =λxn, n = 0, 1, 2, . . . ,(1 + axn )p + bλxn(1)trong đó các tham số a, b, p ∈ (0, ∞), λ ∈ [1, +∞) và giá trị ban đầu x0là số thực dương.• Mô hình sản xuất tế bào máu Mackey-Glass:xn+1 = αxn +βxpn−k1, n = 0, 1, 2, . . . ,(2)trong đó α ∈ [0, 1), p, β ∈ (0, ∞), k ∈ Z+ và các giá trị ban đầux−k , . . . , x0 ∈ [0, ∞).• Mô hình mô tả mối quan hệ giữa vật chủ và ký sinh do R.M. May đềxuất:αxnxn+1 =,1 + βynn = 0, 1, 2, . . . ,(3)βxn yn,yn+1 =1 + βyntrong đó α, β ∈ (0, ∞) và giá trị ban đầu x0 , y0 là các số thực dương.Năm 2001, trong cuốn chuyên khảo Dynamics of Second Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, M. R. S. Kulenovi´cvà G.Ladas đã tổng hợp các kết quả nghiên cứu về tính giới nội, tính ổn địnhtoàn cục và tính tuần hoàn của lớp phương trình sai phân hữu tỷ cấp hai códạng:α + βxn + γxn−1xn+1 =, n = 0, 1, 2, . . . ,(4)A + Bxn + Cxn−1trong đó các tham số α, β, γ, A, B, C và các giá trị ban đầu x−1 , x0 là cácsố thực không âm sao cho mẫu số luôn dương.Trong một số trường hợp đặc biệt, phương trình (4) trở về các dạng phươngtrình đã nhận được sự quan tâm của rất nhiều các nhà nghiên cứu:• Khi γ = C = 0, phương trình (4) trở thànhxn+1 =α + βxn, n = 0, 1, 2, . . . ,A + Bxn(5)với tên gọi Phương trình sai phân Riccati.• Khi α = γ = B = 0, phương trình (4) trở thànhxn+1 =βxn, n = 0, 1, 2, . . . ,A + Cxn−1(6)có tên là Phương trình sai phân Pielou.• Khi γ = A = B = 0, phương trình (4) trở thànhxn+1 =α + βxn, n = 0, 1, 2, . . . ,Cxn−1với tên gọi Phương trình sai phân Lyness.2(7)Năm 2008, trong cuốn chuyên khảo Dynamics of Third Order Rational Difference Equations with Open Problems and Conjectures, E. Camouzis và G.Ladas đã trình bày những kết quả về tính giới nội của nghiệm, tính ổn định củađiểm cân bằng và tính tuần hoàn nghiệm của lớp phương trình sai phân hữu tỷcấp ba có dạng:xn+1 =α + βxn + γxn−1 + δxn ...