Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov

Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu các phương pháp khôi phục tuyến tính không thích nghi từ giá trị lấy mẫu và một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tín hiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Dự thảo tóm tắt Luận án Tiến sĩ Toán học: Xấp xỉ Và khôi phục hàm số bằng phương pháp thích nghi và không thích nghi trong không gian Besov MỞ ĐẦU Trong những năm gần đây, các phương pháp xấp xỉ hiện đại của toán họcđược ứng dụng một cách triệt để và có hiệu quả vào trong lĩnh vực xử lý tín hiệu,xử lý ảnh và thị giác máy tính. Bài toán khôi phục tín hiệu (hàm số) là một bàitoán hết sức quan trọng trong lĩnh vực xử lý tín hiệu và xử lý ảnh, vì trong thựctế không có một loại máy nào có thể cho ta thông tin chính xác của tín hiệu. Một trong những vấn đề nền tảng được đặt ra là tìm phương pháp tối ưu đểkhôi phục tín hiệu hoặc nén tín hiệu từ một số hữu hạn giá trị lấy mẫu. Lý thuyếtsóng nhỏ được hình thành và phát triển trong những năm 90 của thế kỷ trước, làmột trong những công cụ biểu diễn hiệu quả nhất trong xử lý tín hiệu, đặc biệt làtrong bài toán khôi phục hoặc nén tín hiệu từ giá trị lấy mẫu. Trong các bài toánxử lý tín hiệu, xử lý ảnh và thị giác máy tính, tín hiệu được mô hình hóa như mộthàm số một biến hoặc nhiều biến. Trước tiên chúng ta xét một số bài toán truyền thống về khôi phục hàm số từgiá trị lấy mẫu. Vấn đề đặt ra là chúng ta cần khôi phục gần đúng tín hiệu nhiềuchiều f từ n giá trị lấy mẫu. Trên cơ sở thông tin này chúng ta xây dựng mộtphương pháp để khôi phục. Trong các cách tiếp cận truyền thống thông tin vềgiá trị lấy mẫu và phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số, nghĩa làcác điểm lấy mẫu và phương pháp khôi phục tín hiệu được chọn giống nhau chomọi tín hiệu. Các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm số từ giátrị lấy mẫu tối ưu được nghiên cứu bởi các tác giả từ Đại học Quốc gia Hà Nội,Đại học Tổng hợp South Carolina, Hoa Kỳ, Đại học Tổng hợp Jena, CHLB Đức. . .Các tác giả của các công trình này đã tính được tốc độ hội tụ của các đại lượngđặc trưng cho các phương pháp khôi phục không thích nghi với hàm từ giá trịlấy mẫu tối ưu. Tuy nhiên, trong nhiều trường hợp các phương pháp khôi phụckhông thích nghi không mềm dẻo linh hoạt vì dáng điệu của các tín hiệu rất khácnhau. Đề tài Luận án sẽ nghiên cứu một cách tiếp cận mới cho bài toán khôi phục tínhiệu nhiều chiều từ giá trị lấy mẫu bằng cách buộc thông tin về giá trị lấy mẫu và 1phương pháp khôi phục phải thích nghi với tín hiệu. Cách tiếp cận này do Giáosư Đinh Dũng đề xuất và nghiên cứu. Cụ thể là các điểm lấy giá trị thử và phươngpháp khôi phục tín hiệu được chọn sao cho chúng thích nghi với từng tín hiệu.Đề tài sẽ tập trung nghiên cứu các phương pháp khôi phục thích nghi với tínhiệu từ giá trị lấy mẫu tối ưu bằng các tín hiệu đơn giản từ các tập hợp có dunglượng hữu hạn được đo bằng số các phần tử hay giả chiều (pseudo-dimension)của chúng, hoặc bằng các tín hiệu đơn giản là tổ hợp tuyến tính của n số hạng từmột từ điển. Đề tài sẽ nghiên cứu những đại lượng đặc trưng cho những phươngpháp khôi phục tối ưu có liên quan đến e-entropy, các độ dày phi tuyến và xấp xỉbằng n số hạng. Ngoài ra đề tài luận án cũng nghiên cứu các phương pháp xấp xỉvà khôi phục không thích nghi tốt nhất, trong đó có phương pháp tuyến tính. Đểxây dựng phương pháp khôi phục thích nghi và không thích nghi với tín hiệu từgiá trị lấy mẫu tối ưu Đề tài Luận án sẽ xây dựng các biểu diễn sóng nhỏ giả nộisuy của hàm số. Các phương pháp khôi phục thích nghi với hàm số từ giá trị lấymẫu tối ưu sẽ cho bậc tiệm cận của sai số xấp xỉ tốt hơn các phương pháp khôiphục không thích nghi đã được nghiên cứu. Tuy nhiên, độ phức tạp tính toán củaphương pháp thích nghi đôi khi lớn hơn các phương pháp không thích nghi, đặcbiệt là các phương pháp tuyến tính. Ngoài phần Mở đầu, luận án gồm 3 chương, Kết luận và kiến nghị, Danh mụccông trình của tác giả liên quan đến luận án, và Tài liệu tham khảo. Chương 1: Nhắc lại một số khái niệm và tính chất cơ bản liên quan đến luậnán. Phát biểu và chứng minh các định lý biểu diễn: Định lý biểu diễn giả nội suyqua giá trị lấy mẫu và Định lý biểu diễn qua đa thức lượng giác. Chương 2: Nghiên cứu Khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương pháp tuyếntính. Chương 3: Nghiên cứu vấn đề khôi phục và xấp xỉ hàm số bằng phương phápphi tuyến. Các kết quả của luận án này đã được báo cáo tại: - Xêmina bộ môn Giải tích, xêmina bộ môn Toán giải tích, Khoa Toán - Cơ -Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội. - Xêmina tại phòng thư viện, Viện nghiên cứu cao cấp về Toán. 2 -Xêmina tại bộ môn Toán giải tích, Khoa KHTN, Trường ĐH Hồng Đức. Các kết quả chính của luận án đã được đăng trên các tạp chí Acta MathematicaVietnamica , Journal of Computer Science and Cybernetics, Southeast Asian Bulletin ofMathematics. 3 Chương 1 CÁC ĐỊNH LÝ BIỂU DIỄN BẰNG GIÁ TRỊ LẤY MẪU Chương này tôi trình ...