ET 2060 Biến đổi Laplace ( TS. Đặng Quang Hiếu )

Giới thiệu về biến đổi Laplace Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t) và đầu vào x(t) = e st , ta có: y (t) = H(s)e st trong đó H(s) = ◮ ◮ ◮ ∞ −∞ h(t)e −st dt Có thể coi biến đổi Fourier là trường hợp riêng của biến đổi Laplace (với s = jΩ). Phân tích hệ thống LTI, đặc biệt là tính ổn định. Ứng dụng trong lý thuyết mạch, lý thuyết điều khiển, v.v. Định nghĩa L t L−1 L s Biến đổi Laplace x(t) ←−→ X (s) − trong đó s là biến số phức: s = σ +...
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
ET 2060 Biến đổi Laplace ( TS. Đặng Quang Hiếu ) ET 2060 Biến đổi Laplace TS. Đặng Quang Hiếu http://ss.edabk.org Trường Đại học Bách Khoa Hà Nội Viện Điện tử - Viễn thông 2011-2012 Giới thiệu về biến đổi Laplace Xét hệ thống LTI với đáp ứng xung h(t ) và đầu vào x (t ) = e st , ta có: y (t ) = H (s )e st trong đó ∞ h(t )e −st dt H (s ) = −∞ ◮ Có thể coi biến đổi Fourier là trường hợp riêng của biến đổi Laplace (với s = j Ω). ◮ Phân tích hệ thống LTI, đặc biệt là tính ổn định. ◮ Ứng dụng trong lý thuyết mạch, lý thuyết điều khiển, v.v. Định nghĩa L s t L −1 Biến đổi Laplace L x (t ) ←−→ X (s ) − trong đó s là biến số phức: s = σ + j Ω. ∞ x (t )e −st dt X (s ) −∞ Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace của x (t ) = e at u (t ) Liên hệ với biến đổi Fourier ◮ Biến đổi Fourier là biến đổi Laplace xét trên trục ảo s = j Ω. X (j Ω) = X (s )|s =j Ω Biến đổi Laplace là biến đổi Fourier của x (t )e −σt ◮ ∞ x (t )e −(σ+j Ω)t dt = FT{x (t )e −σt } X (s ) = −∞ ◮ Miền hội tụ (ROC) là những giá trị của s trên mặt phẳng phức sao cho X (s ) < ∞ (tức là tồn tại biến đổi Fourier của x (t )e −σt ). Điều kiện hội tụ: ∞ |x (t )e −σt |dt < ∞ −∞ Ví dụ Tìm biến đổi Laplace và vẽ miền hội tụ cho các trường hợp sau: (a) x (t ) = δ(t ) (b) x (t ) = −e at u (−t ) (c) x (t ) = e 2t u (t ) + e 3t u (−t ) (d) x (t ) = cos(Ω0 t )u (t ) Điểm cực và điểm không ◮ Điểm cực: s = spk nếu X (spk ) = ∞. ◮ Điểm không: s = s0k nếu X (s0r ) = 0. ◮ Nếu X (s ) biểu diễn bởi một hàm hữu tỉ: N (s ) X (s ) = D (s ) thì spk là nghiệm của đa thức D (s ) và s0r là nghiệm của đa thức N (s ). Ví dụ: Tìm biến đổi Laplace và vẽ các điểm cực, điểm không x (t ) = δ(t ) − 3e −2t u (t ) + 2e t u (t ) Các tính chất của ROC (i) ROC chứa các dải song song với trục ảo trên mặt phẳng s . (ii) ROC không chứa các điểm cực ∞ −∞ |x (t )|dt < ∞ thì ROC (iii) Nếu x (t ) có chiều dài hữu hạn và sẽ là cả mặt phẳng phức. (iv) Nếu x (t ) là dãy một phía (trái hoặc phải) thì ROC? (v) Nếu x (t ) là dãy hai phía thì ROC? Biến đổi Laplace ngược Áp dụng biến đổi Fourier ngược: ∞ 1 −σ t X (σ + j Ω)e j Ωt d Ω x (t )e = 2π −∞ Ta có: σ +j ∞ 1 X (s )e st ds x (t ) = 2π j σ −j ∞ ◮ Nếu X (s ) là hàm hữu tỷ thì biến đổi ngược bằng cách khai triển thành các phân thức tối giản. ◮ Lưu ý về ROC. Ví dụ: Tìm biến đổi ngược của −5s − 7 ROC : −1 < Re{s } < 1 X (s ) = , (s + 1)(s − 1)(s + 2) Các tính chất ◮ Tuyến tính L Dịch thời gian: x (t − t0 ) ←−→ e −st0 X (s ) ◮ − L Dịch trên miền s : e s0 t x (t ) ←−→ X (s − s0 ) ◮ − L 1 ◮ Co dãn: x (at ) ←−→ − |a| X (s /a) L Liên hợp phức: x ∗ (t ) ←−→ X (s ∗ ) ∗ ◮ − L ◮ Chập: x1 (t ) ∗ x2 (t ) ←−→ X1 (s )X2 (s ) − L dx (t ) ◮ ←−→ sX (s ) − Đạo hàm trên miền t : dt L dX (s ) ◮ Đạo hàm trên miền s : −tx (t ) ←−→ − ds t = 1 X (s ) ◮ Tích phân trên miền t : −∞ x (τ )d τ ...