Giá trị kỳ vọng

Trong Lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng, giá trị mong đợi (hoặc kỳ vọng toán học), hoặc trung bình (mean) của một biến ngẫu nhiên là trung bình có trọng số của tất cả các giá trị của thể của biến đó, hay là được tính bằng tổng các tích giữa xác suất xảy ra của mỗi giá trị có thể của biến với giá trị đó.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giá trị kỳ vọng Giá trị kỳ vọngTrong Lý thuyết xác suất, giá trị kỳ vọng, giá trị mong đợi (hoặc kỳ vọngtoán học), hoặc trung bình (mean) của một biến ngẫu nhiên là trung bình cótrọng số của tất cả các giá trị của thể của biến đó, hay là được tính bằng tổngcác tích giữa xác suất xảy ra của mỗi giá trị có thể của biến với giá trị đó.Như vậy, nó biểu diễn giá trị trung bình mà người ta mong đợi thắng cượcnếu đặt cược liên tục nhiều lần với khả năng thắng cược là như nhau. Lưu ýrằng bản thân giá trị đó có thể không được mong đợi theo nghĩa thôngthường; nó có thể ít có khả năng xảy ra hoặc không thể xảy ra. Một trò chơihoặc một tình huống trong đó giá trị kỳ vọng bằng 0 được gọi là một tròchơi công bằng (fair game).Ví dụ, một vòng quay roulette có 38 kết quả có thể có khả năng như nhau.Mỗi đặt cược vào một số duy nhất thắng 35-1 ( nghĩa là ta được trả 35 lần sốtiền đặt cược và được nhận lại tiền đặt cược, vậy ta nhận được 36 lần tiềncược). Do đó, xét cả 38 kết quả có thể, giá trị kỳ vọng của khoản lợi thu đượctừ 1 đôla đặt cược cho một số duy nhất là:nghĩa là khoảng -$0.0526. Do đó, giá trị kỳ vọng là ta sẽ mất trung bình hơnnăm xu cho mỗi đôla tiền đặt cược.Mục lục  1 Định nghĩa toán học  2 Các tính chất o 2.1 Tuyến tính o 2.2 Kỳ vọng lặp o 2.3 Bất đẳng thức o 2.4 Biểu diễn o 2.5 Không có tính nhân o 2.6 Không bất biến về hàm  3 Ứng dụng của giá trị kỳ vọng  4 Kỳ vọng của ma trận  5 Xem thêm  6 Liên kết ngoàiĐịnh nghĩa toán họcThông thường, nếu là một biến ngẫu nhiên xác định trên một không gianxác suất , thì giá trị kỳ vọng của (ký hiệu hoặc đôi khi hoặc ) được định nghĩa như sautrong đó sử dụng tích phân Lebesgue. Lưu ý rằng không phải mọi biến ngẫunhiên đều có một giá trị kỳ vọng, do có thể không tồn tại tích phân (ví dụphân bố Cauchy). Hai biến ngẫu nhiên có cùng phân bố xác suất sẽ có giá trịkỳ vọng bằng nhau.Nếu là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giá trị , , ... và các xác suấttương ứng là , , ... với tổng bằng 1, thì có thể được tính bằng tổngcủa chuỗicũng như trong ví dụ đánh bạc nêu trên.Nếu phân bố xác suất của chấp nhận một hàm mật độ xác suất , thì giátrị kỳ vọng có thể được tính như sauĐịnh nghĩa của trường hợp rời rạc trực tiếp suy ra rằng nếu là một hằngbiến ngẫu nhiên (constant random variable), nghĩa là với một là mộtsố thực không đổi nào đó, thì giá trị kỳ vọng của cũng bằng .Giá trị kỳ vọng của một hàm g(x) tùy ý của x, với hàm mật độ xác suất f(x) cócông thứcCác tính chấtTuyến tínhPhép toán giá trị kỳ vọng (hay phép toán kỳ vọng) là phép toán tuyến tínhtheo nghĩa sauvới hai biến ngẫu nhiên và bất kỳ (được định nghĩa trên cùng một khônggian xác suất) và hai số thực bất kỳ và .Kỳ vọng lặpVới hai biến ngẫu nhiên bất kỳ , ta có thể định nghĩa kỳ vọng có điềukiện (conditional expectation):Khi đó giá trị kỳ vọng của thỏa mãnDo đó, đẳng thức sau là đúng:Vế phải của đẳng thức được gọi là kỳ vọng lặp. Mệnh đề này được nói đếntrong quy tắc kỳ vọng toàn thể (law of total expectation)Bất đẳng thứcNếu một biến ngẫu nhiên X luôn nhỏ hơn hay bằng một biến ngẫu nhiên Ykhác, kỳ vọng của X cũng nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của Y:Nếu , thì .Đặc biệt, do và , giá trị tuyệt đối của kỳ vọng của mộtbiến ngẫu nhiên nhỏ hơn hay bằng kỳ vọng của giá trị tuyệt đối của nó:Biểu diễnCông thức sau đúng với mọi biến ngẫu nhiên giá trị thực không âm (saocho ), và số thực lớn hơn 0:Không có tính nhânNói chung, phép toán giá trị kỳ vọng không có tính nhân, nghĩa làkhông nhất thiết bằng , ngoại trừ nếu và là độc lập hoặc khôngtương quan (uncorrelated). Sự không có tính nhân này dẫn đến nghiên cứu vềhiệp phương sai (covariance) và sự tương quan (correlation).Không bất biến về hàmNói chung, phép toán kỳ vọng và hàm của các biến ngẫu nhiên không có tínhhoán vị; nghĩa làtrừ trường hợp được ghi chú như ở trên.Ứng dụng của giá trị kỳ vọngCác giá trị kỳ vọng của các lũy thừa của được gọi là mômen (moment) của ; mômen quanh trung bình (moment about the mean) của là các giá trị kỳvọng của các lũy thừa của . Mômen của một số biến ngẫu nhiên cóthể được sử dụng để xác định phân bố của chúng, bằng các hàm sinh mômen(moment generating function) của chúng.Để ước lượng bằng thực nghiệm giá trị kỳ vọng của một biến ngẫu nhiên,người ta liên tục thực hiện các quan sát về biến đó và tính trung bình cộngcủa các kết quả. Quy trình này ước lượng giá trị kỳ vọng thực sự bằng mộtcách không thiên lệch và có tính chất cực tiểu hóa tổng bình phương của cácthặng dư (tổng bình phương của các hiệu giữa các quan sát và ước lượng).Luật số lớn chứng minh rằng (trong điều kiện ôn hòa) khi kích thước của mẫuthống kê lớn lên thì phương sai của ước lượng này sẽ nhỏ đi.Trong Cơ học cổ điển, tâm khối (center of mass) là khái niệm tương đươngvới giá trị kỳ vọng. Ví dụ, giả sử là một biến ngẫu nhiên rời rạc với các giátrị và các xác suất tương ứng . Xét một thanh ngang có trọng lượngkhông đáng kể, trên đó đặt các quả cân, tại các vị trí là các khối lượng(với tổng bằng 1). Điểm mà tại đó thanh ngang được thăng bằng (trọng tâmcủa nó) là . (Tuy nhiên, cần lưu ý rằng tâm khối không đồng nghĩa vớitrọng tâm (center of gravity).)Kỳ vọng của ma trậnNếu là một ma trận , giá trị kỳ vọng của là một ma trận của cácgiá trị kỳ vọng:Tính chất này được dùng trong các ma trận hiệp phương sai (covariancematrix). ...