GIÁ TRỊ MIN – MAX – BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHỐI B ĐỀ CHUNG TỪ 2006

Chú ý đến bất đẳng thức quen thuộc để ý kỹ đến điều kiện xảy ra dấu =. Chẳng hạn đối với bài trên, nếu rập khuôn để có số đẹp: Nhưng khi xét điều kiện để có dấu (vô nghiệm). Vậy không thể áp dụng để cho số triệt để, phải giữ lại ít nhất 1 ẩn sau khi áp dụng bất đẳng thức trên. Hiển nhiên ta thấy nên để lại ẩn y để dễ khảo sát hàm số.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
GIÁ TRỊ MIN – MAX – BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHỐI B ĐỀ CHUNG TỪ 2006 GIÁ TRỊ MIN – MAX – BẤT PHƯƠNG TRÌNH KHỐI B ĐỀ CHUNG TỪ 2006Khối B – 2006: Cho x, y là các số thực thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểuthức: A = ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 + y − 2 Hướng dẫn:Chú ý đến bất đẳng thức quen thuộc a c a 2 + b2 + c 2 + d 2 (a + c) 2 + (b + d )2 . Dấu “=” � = . Tuy nhiên b dđể ý kỹ đến điều kiện xảy ra dấu =. Chẳng hạn đối với bài trên, nếu rậpkhuôn để có số đẹp: ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ( x − 1 − x − 1) 2 + ( y − y ) 2 = 2 x −1 yNhưng khi xét điều kiện để có dấu “=” thì = = −1 � x − 1 = x + 1 −x −1 − y(vô nghiệm). Vậy không thể áp dụng để cho số triệt để, phải giữ lại ítnhất 1 ẩn sau khi áp dụng bất đẳng thức trên. Hiển nhiên ta thấy nên đểlại ẩn y để dễ khảo sát hàm số. ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ( x − 1 − x − 1) 2 + ( y + y ) 2 2 1 + y 2 x −1 yDấu “=” � = � x = 0. −x −1 yViệc sử dụng bất đẳng thức trên đòi hỏi phải chứng minh (cũng đơn giảnnhưng tốn thời gian), người ta thường thay th ế bằng việc s ử d ụng b ấtđẳng thức tam giác OM + ON MN trong hệ tọa độ Oxy.Bằng cách đặt M ( x − 1; − y ), N ( x + 1; y ) ta có bất đẳng thức trên. Việckhảo sát hàm số chứa giá trị tuyệt đối ta chia làm các trường h ợp m ở d ấutrị tuyệt đối. Giải:Đặt M ( x − 1; − y ), N ( x + 1; y ) . Ta có OM + ON MN ( x − 1) 2 + y 2 + ( x + 1) 2 + y 2 ( x − 1 − x − 1) 2 + ( y + y ) 2 2 1 + y 2 uuuu uuu r r x −1 yDấu “=” O MN OM , ON cùng phương hay = � x =0. −x −1 yKhi đó A 2 1 + y 2 + y − 2Đặt f ( y ) = 2 1 + y 2 + y − 2 .*Khi y < 2 : f ( y ) = 2 1 + y 2 + 2 − y 2y f ( y ) = −1 1+ y 2 y>0 1 f ( y ) = 0 �� y= 2 y = 1 + y2 3 1y − + 3f ( y ) − 0 +f ( y) + + 2+ 3* Khi y 2 : f ( y ) 2 5 > 2 + 3 . 1Vậy A f ( y ) 2 + 3 và Amin = 2 + 3 khi x = 0, y = . 3Khối B – 2007:Cho x, y, z là 3 số thực dương thay đổi. Tìm giá trị nhỏ nhất củabiểu thức: � 1 � � 1� � 1 � x y z P = x� + � y� + � z� + � + + � yz � � zx � � xy � 2 2 2 Hướng dẫn:Đề đại học phần bất đẳng thức hoặc tìm min, max những năm gần đâysử dụng BĐT trung bình cộng – trung bình nhân là chủ yếu. Ở đây ta sửdụng:a + b + c 3 3 abc khi a, b, c 0 . Dấu “=” � a = b = c. � 2 y 2 z 2 � �x x y z �Ta ghép biểu thức về dạng cân xứng P = � + + �� + + � + �2 2 2 ��yz zx xy �. 33 2 2 2 1Khi đó P x y z + 33 . Dấu “=” � x = y = z . 2 xyz 1Ta tách 3 làm 2 để áp dụng BĐT TBC – TBN lần nữa thì m ới kh ử xyzđược biến ở cả tử lẫn mẫu, tìm được giá trị nhỏ nhất là một số thực. 3� 2 2 2 1 1 �P �x y z + 3 3 +3 � 2� xyz xyz � Giải: Vận dụng bất đẳng thức trung bình cộng - trung bình nhân cho 3 sốdương a, b, c ta có a + b + c 3 3 abc . Dấu “=” � a = b = c. Khi đó � 2 y 2 z 2 � �x x y z �P=� + + �� + + � + �2 2 2 �� yz zx xy � 33 2 2 2 1 3� 1 1 � x y z + 33 = � x2 y2 z 2 + 3 3 +3 � 2 xyz 2 � xyz xyz � 3 1 1 9 .3. 3 3 x2 y 2 z 2 3 3 = 2 ...