GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 8/2008

GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 8/2008MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 8/2008 GIẢI ĐỀ THI TUYỂN SINH CAO HỌC THÁNG 8/2008 MÔN CƠ BẢN: ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCHBài 1: Cho ánh xạ tuyến tính f : R4 → R3 xác định bởif(x1,x2,x3,x4)=(x1+x2,x2+x3,x3+x4) với mọi x=(x1,x2,x3,x4) ∈ R4M={ (x1,x2,x3,x4) ∈ R4 : x1-x2=0 và x3-x4=0}a. Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R4 và R3 . xác định Imf và Kerfb. CM f(M) là không gian vectơ con của R3. tìm dimf(M)Giải : • Tìm ma trận f trong cơ sở chính tắc của R4 và R3Trong R4 ta có e1=(1,0,0,0),e2=(0,1,0,0),e3=(0,0,1,0),e4=(0,0,0,1)Trong R3 ta có e’1=(1,0,0),e’2=(0,1,0),e’3=(0,0,1)Ma trận f trong cơ sở chính tắc là a1 a2 a3 a 4  1 1 0 0A f /( e 4 ),( e3 ) =  b1  b2 b3 b4  = 0 1 1 0     c1  c2 c3 c 4  0 0 1 1    mà f(e1)=(1,0,0)=a1e’1+b1e’2+c1e’3 ta tìm được (a1,b1,c1)=(1,0,0) f(e2)=(1,1,0) (a2,b2,c2)=(1,1,0) f(e3)=(0,1,1) (a3,b3,c3)=(0,1,1) f(e4)=(0,0,1) (a4,b4,c4)=(0,0,1) • Xác định Imf,Kerf • Kerf ={ x∈ R4 : f(x)=0 }  x1 = − x 4  x1 + x 2 = 0 x = x   2 4Ta được hệ  x 2 + x3 = 0 ⇔  hệ có nghiệm tổng quát là (-a,a,-a,a) x + x = 0  x3 = − x 4  3 4  x4 ∈ R Hệ nghiệm cơ bản là (-1,1,-1,1)Vậy dimKerf=1, cơ sở của Kerf =(-1,1,-1,1) • Tìm ImfTa có f(e1)=(1,0,0),f(e2)=(1,1,0), f(e3)=(0,1,1),f(e4)=(0,0,1)Nên Imf=Ta có1 0 0 1 0 01 1  0 0 1 0 → ... →  0 1 1 0 0 1   0 0 1 0 0 0vậy cơ sở của Imf là f(e1),f(e2),f(e3) và dimf=3b.Bài 2: Giải và biện luận hệ phương trình 1mx1 + x 2 + x3 + x 4 = 1 x1 + mx 2 + x3 + x 4 = 1 x + x + mx + x = 1 1 2 3 4Giải : lập ma trận các hệ số m 1 1 1 . 1 1 1 m 1 . 1 1 1 m 1 . 1 A =  1 m 1 1 . 1 →  1 m 1 1 .    1. → ... → 0 m − 1   1− m 0 . 0   1 1 m 1 . 1   m 1 1 1 .  1 0  0 2 − m − m 2 1 − m . 1 − m  (1 − m)(2 + m) x 3 + (1 − m) x 4 = 1− m vậy ta được (m − 1) x 2 + (1 − m) x3 = 0  x + x + mx + x = 1  1 2 3 4Biện luận:Với m=1 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc 3 tham số x2,x3,x4nghiệm của hệ là (1-a-b-c,a,b,c) a,b,c ∈ Rvới m=-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x3nghiệm của hệ là (a,a,a,1) a ∈Rvới m khác 1,-2 hệ có vô số nghiệm phụ thuộc tham số x4 và m  1− a x = m + 2  x = 1 − a  nghiệm của hệ là  m + 2 a ∈R  1− a x =  m+2 x = a Bài 3: Cho chuỗi luỹ thừa ∞ (−1) n −1 ( x + 2) n∑n =1 n.2 n a. Tìm miền hội tụ của chuỗi b. Tính tổng của chuỗiGiải: ( −1) n −1 ( x + 2) n a. ta có U n ( x) = n.2 n 1 x+2 x+2tính lim n →∞ n U n ( x) = lim n . n →∞ n 2 = 2 =Ctheo tiêu chuẩn côsi nếu chuổi hội tụ khi C 0Bài 4: Cho a>0 và f ( x, y ) =  ( x + y2 ) a 0 ,x = y = 0  2Tuỳ theo giá trị của a>0 xét sự khả vi của f tại (0,0), sự liên ...