Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp liên hợp

Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp liên hợp sau đây giới thiệu một số suy nghĩ của tác giả về phương pháp liên hợp trong giải phương trình vô tỷ, phương pháp giải và hướng dẫn giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp trên.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp liên hợp Giải PT Vô tỉ bằng phương pháp liên hợpGiải phương trình vô tỉ bằng phương pháp lượng liên hợpCó rất nhiều phương cách giải PT Vô tỉ nhưng bản thân tôi thích nhất là PP lượng liên hợp vì tínhtự nhiên của nó. Trong bài viết này tôi giới thiệu với các bạn một số suy nghĩ về phương phápnày.Cho hàm số , xác định trên . x0 DfTa biết là nghiệm phương trình f ( x ) = 0 . f ( x0 ) = 0Mà theo định lí Bơzu nếu là nghiệm của đa thức thì . Từ đâyta có nhận xét:Nếu là một nghiệm của phương trình thì ta có thể đưa phương trình vềdạng và khi đó việc giải phương trình quy về giải phương trình . Ta xét ví dụ sau:Ví dụ 1: Giải phương trình: (HVKTQS 2000).Giải: Điều kiện : .Ta thấy là một nghiệm của phương trình ( ta nghĩ đến vì khi đó và lànhững số chính phương) do đó ta có thể đưa phương trình về dạng: nên tabiến đổi phương trình như sau: , vấn đề cònlại của chúng ta là phải phân tích ra thừa số (Chú ýkhi thì ), vì định lí Bơzu chỉ áp dụng cho đa thức nên ta phải biến đổibiểu thức này về dạng có mặt đa thức, tức là ta đưa về dạngđiều này giúp ta liên tưởng đến đẳng thức : nên ta biến đổi : .Suy ra phương trình đến đây ta chỉ cần giảiphương trình: .Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm và .Nhận xét: 1) Qua ví dụ trên ta thấy để bỏ căn thức ta sử dụng hằng đẳng thức: 1hai biểu thức và ta gọi là hai biểu thức liên hợpcủa nhau. Nên phương pháp trên ta gọi là phương pháp nhân lượng liên hợp. 2) Với phương pháp này điều quan trọng là ta phải biết được một nghiệm của phương trình, từđó ta mới định hướng được cách biến đổi để là xuất hiện nhân tử chung. Để nhẩm nghiệm ta cóthể sử dụng máy tính bỏ túi 570MS hoặc 570ES .Ví dụ 2: Giải phương trình : (THTT).Giải: Điều kiện : .Nhận thấy phương trình trên vẫn có nghiệm nên ta nghĩ đến cách giải phương trình trênbằng phương pháp nhân lượng liên hợp.Ta có: . Mặt khác vônghiệm. Vậy phương trình đã cho có nghiệm duy nhất: . Nhận xét : * Ta có dạng tổng quát của phương trình trên là: �2 − a2 b b−a � � +b a �b−a x − a + b − x = (b − a ) x 2 − � − �−� x − 2� (Điều kiện : � 2 2 � �2 � 2).* Bằng máy tính ta có thể thấy được phương trình (*) vô nghiệm do đó ta nghĩ đến chứng minhphương trình (*) vô nghiệm. Thay vào phương trình (*) thì do đó ta tìmcách chứng minh VT(*) < VP(*).Ví dụ 3: Giải phương trình : (THTT).Giải: Điều kiện: .Ta thấy phương trình có một nghiệm nên ta phân tích ra thừa số .Ta có: 2(Do biểu thức trong dấu () >0). Vậy phương trình có nghiệm duy nhất .Ví dụ 4: Giải phương trình: .Giải: Điều kiện: .Nhận thấy phương trình có một nghiệm .Phương trìnhKết hợp với phương trình ban đầu ta có :(*) thử lại ta thấy hai nghiệm nàyđều thỏa mãn phương trình. Vậy phương trình đã cho có ba nghiệm:.Nhận xét: Để giải phương trình (*) ta phải kết hợp với phương trình ban đầu. Ta chú ý rằngphép biến đổi này là phép biến đổi hệ quả do đó sau khi giải xong ta phải thử lại các nghiệm đểloại đi những nghiệm ngoại lai. Trong các ví dụ trên ta thấy mỗi phương trình đều có nghiệm hữu tỉ do đo việc dự đoán nghiệmtương đối dễ. Tuy nhiên trong nhiều trường hợp việc đoán nghiệm không được dễ dàng, đặcbiệt là khi tất cả các nghiệm của phương trình đều là nghiệm vô tỉ! Trong trường hợp này chúngta phải xử lí thế nào? Ta xét các ví dụ sau: Ví dụ 5: Giải phương trình : .Giải: Do nên .Bằng máy tính ta thấy được phương trình không có nghiệm hữu tỉ, mà chỉ có hai nghiệm vô tỉ. Tathấy nếu (*) thì hai vế của phương trình bằng nhau nên taphân tích ra thừa số . ( 3 2x 2 + 1 − 3 2x + 2 + ) ( 3 ) 2x 2 − 3 2x + 1 = 0Ta có: 2x 2 − 2x − 1 2x 2 − 2 x − 1 � + =0 ? ? (do nên khi đặt ...