Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa

Tham khảo tài liệu giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa, tài liệu phổ thông, ôn thi đh-cđ phục vụ nhu cầu học tập, nghiên cứu và làm việc hiệu quả
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải phương trình vô tỷ bằng phương pháp lượng giác hóa Gi¶i mét sè ph−¬ng tr×nh v« tû b»ng ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸ THPT CHUY£N LμO CAI giothoimai2003A. C¬ së lý thuyÕt.Ph−¬ng ph¸p l−îng gi¸c ho¸ ®Ó gi¶i ph−¬ng tr×nh víi môc ®Ých thay ®æi h×nh thøc cña bµi to¸n gi¶i ph−¬ng tr×nh®¹i sè thµnh viÖc gi¶i ph−¬ng tr×n l−îng gi¸c. Ta thùc hiÖn c¸c b−íc sau:B−íc 1: L−îng gi¸c ho¸ ph−¬ng tr×nh theo mét sè dÊu hiÖu chñ yÕu sau: ⎧ y = cos α *) NÕu xuÊt hiÖn: x2 + y2 =1 th× ®Æt ⎨ . ⎩ x = sin α ⎧ y = a cos α *) NÕu xuÊt hiÖn: x2 + y2 =a2 th× ®Æt ⎨ . ⎩ x = a sin α ⎧ x = a sin α ⎪ *) NÕu xuÊt hiÖn: x + y +z = a th× ®Æt ⎨ y = a sin β cos α . 2 2 2 2 ⎪ z = a cos β cos α ⎩*) §Æt Èn phô l−îng gi¸c tuú theo ®iÒu kiÖn cña ph−¬ng tr×nh vµ ®Æc thï cña ph−¬ng tr×nh( ®Æt Èn phô ®Ó cã thÓ ¸p dông ®−îc c¸c c«ng thøc l−îng gi¸c).B−íc 2: Thùc hiÖn viÖc gi¶i ph−¬ng tr×nh l−îng gi¸c.B. Bµi tËp vËn dông.Bµi sè 1: Ph−¬ng tr×nh sau cã bao nhiªu nghiÖm: 4x3 -3x = 1 − x 2 (1). Gi¶i§iÒu kiÖn: 1-x ≥ 0 ⇔ x ≤ 1 (*). Víi ®iÒu kiÖn (*), ®Æt x = cost, t ∈[ 0; π ] 2 (**) 1 − cos 2 t ⇔ cos3t = sin t ⇔ cos3t = sint (do (**) )Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (1) trë thµnh: 4cos3t – 3cost = π kπ π ⎡ ⎡ ⎢3t = 2 − t + k 2π ⎢t = 8 + 2 ⇔ cos3t = cos( π /2 - t) ⇔ ⎢ ⇔ ⎢ ⎢3t = − π + t + k 2π ⎢t = − π + kπ ⎢ ⎢ ⎣ ⎣ 2 4 ⎡π π ⎡ ⎢t = 8 ⎢ x = cos 8 ⎢ ⎢ ⎢t = 5π ⇒ ⎢ x = cos 5π Do ®iÒu kiÖn (**) nªn ta cã: ⎢ ⎢ 8 8 ⎢ ⎢ 3π 3π ⎢t = ⎢ x = cos ⎢ ⎢ 4 4 ⎣ ⎣VËy, ph−¬ng tr×nh (1) cã ba nghiÖm ph©n biÖt. 1 + 1 − x 2 = x(1 + 2 1 − x 2 ). (2).Bµi sè 2: Gi¶i ph−¬ng tr×nh: Gi¶i§iÒu kiÖn: 1-x ≥ 0 ⇔ -1 ≤ x ≤ 1. §Æt x = sint víi t ∈[ - π /2 ; π /2 ] (*) 2Khi ®ã ph−¬ng tr×nh (2) trë thµnh: 1 + 1 − sin 2 t = sin t (1 + 2 1 − sin 2 t ). 3t t⇔ 1 + cos t = sin t (1 + 2 cos t ). ( do (*) nªn cost ≥ 0) ⇔ 2 cos t = sin t + sin 2t ⇔ 2 cos t = 2 sin cos 2 2 ⎡π ⎡ t cos = 0 ⎢t = 6 ⎡ 1 ⎢ ⎢x = 2 . 2 3t t⇔ 2 cos (1 − 2 sin ) = 0 ⇔ ⎢ ⇒ ⎢ (**). Do ®iÒu k ...