Giải số cho phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp 1 hai biến

Trong bài báo này chúng tôi trình bày phối hợp các phương pháp số, bao gồm: phương pháp lưới, phương pháp đường đặc trưng, phương pháp nội suy Spline bậc 2 và phương pháp Runge – Kutta bậc 4 để giải số cho phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp 1 hai biến. Kết quả số được so sánh với nghiệm giải tích thông qua ví dụ mẫu.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải số cho phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp 1 hai biến17 TẠP CHÍ KHOA HỌC CÔNG NGHỆ GIAO THÔNG VẬN TẢI, SỐ 20 - 08/2016 GIẢI SỐ CHO PHƯƠNG TRÌNH ĐẠO HÀM RIÊNG TỰA TUYẾN TÍNH CẤP 1 HAI BIẾN NUMERICAL SOLUTION OF QUASI-LINEAR PARTIAL DIFFERENTIAL EQUATION Huỳnh Văn Tùng Khoa Cơ Bản Tóm tắt: Trong bài báo này chúng tôi trình bày phối hợp các phương pháp số, bao gồm: phươngpháp lưới, phương pháp đường đặc trưng, phương pháp nội suy Spline bậc 2 và phương pháp Runge –Kutta bậc 4 để giải số cho phương trình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp 1 hai biến. Kết quả số đượcso sánh với nghiệm giải tích thông qua ví dụ mẫu. Từ khóa: Phương trình đạo hàm riêng, cấp 1, tựa tuyến tính, phép nội suy, phương pháp Splinebậc 2, phương pháp Runge – Kutta bậc 4, phương pháp lưới. Abstract: This paper presents the combination of numerical methods, includes: Grid - based,characteristic curves, quadratic spline interpolation and fourth order Runge – Kutta to find numericalsolutions for quasi - linear PDEs. The results will be compared with analytic solution via examples. Keywords: PDE, first order, quasi-linear, interpolation, quadratic spline interpolation, fourthorder Runge – Kutta method, grid - based method. 1. Giới thiệu cứu các thông tin về nghiệm của chúng. Phương trình đạo hàm riêng cấp 1 Trong bài báo này, chúng ta áp dụng phốithường nảy sinh trong vật lý lý thuyết, động hợp các phương pháp số, bao gồm: Phươnglực học (mô tả những chuyển động chính pháp lưới, phương pháp đường đặc trưng,tắc), cơ học liên tục (để ghi lại sự bảo toàn phương pháp nội suy Spline bậc 2 và phươngkhối lượng, mô men lực) và quang học (để pháp Runge – Kutta bậc 4 để giải số cho bàimô tả sóng),… toán (1) – (3). Trong bài báo này chúng ta xét phương 2. Phương pháp lướitrình đạo hàm riêng tựa tuyến tính cấp 1 hai Phương pháp lưới là một trong cácbiến có dạng: phương pháp số thông dụng để giải bài toán u t +c(x,t).u x = F(x,t,u) (1) biên đối với các phương trình đạo hàm riêng. Ý tưởng của phương pháp lưới được thể hiện (x,t)  D = (a,b)×(0,T) như sau: Trong miền biến thiên của các biến Thỏa mãn điều kiện đầu : độc lập, chúng ta tạo ra một lưới nhờ các u(x,0) = φ(x), a < x < b (2) đường thẳng song song với hai trục tọa độ. Và điều kiện biên : Điểm giao nhau của các đường thẳng đó gọi là các nút lưới (điểm lưới). u (a,t) = g (t), 0 < t < T  (3) Ứng với mỗi bài toán, chúng ta áp dụng u (b,t) = h (t), 0 < t < T các phương pháp số thích hợp để tìm giá trị Trong đó: xấp xỉ của hàm số cần tìm tại các điểm lưới. u (x,t) : Hàm số cần tìm của hai biến; Trong phần này, chúng ta xét lưới đều x,t ; t : Biến thời gian; được xác định bởi hai họ đường thẳng song song với các trục tọa độ: c,F : Các hàm số cho trước.  x = x i = a+i.h x , i = 0,m u u  (4) Các ký hiệu: u t = , ux = . t x  t = t j = j.h t , j = 0,n Phương trình đạo hàm riêng phi tuyến Trong đó: h x >0, h t >0 là các số đã chonói chung là rất phức tạp, nhưng ta có thể sửdụng những kỹ thuật khác nhau để nghiên (bước lưới theo trục Οx,Οt ), hình 1.18 Journal of Transportation Science and Technology, Vol 20, Aug 2016 t xa xb  x / (t) = c  x(t),t  tn  T  x(t ) = x , t  [t j-1 ;t j ] (8)  j i Dọc theo một đường đặc trưng γi,j , hàm tj Ni , j u(x,t) = u(x(t),t) là hàm của một biến t . Khi ht đó ta có: t2 du u u dx = + = u t +c(x,t)u x (9) t1 dt t x dt hx x Thay (9) vào (1) ta được: 0 x0  a x1 xi xm  b du t 0 Lớp thời gian = F  x(t),t,u(x(t),t)  (10) Hình 1. Sơ đồ lưới. dt Giá trị u i,j là nghiệm xấp xỉ của bài toán Xuất phát từ giá trị của hàm u (x,t) tạicác điểm lưới trên lớp thời gian t = 0 : Cauchy sau tại t = t ...