Giải tích hàm nâng cao1

Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con của X ta đặt một quan hệ
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải tích hàm nâng cao1 Giải tích hàm nâng cao 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------Các bước chứng minh Trong tập hợp G tất cả các phiếm hàm tuyến tính xác định trên không gian con của X ta đặt một quan hệ < như sau: ( g1, g 2  G ) g1  g 2  1. Dg1  Dg2 2. (x  Dg1 ) g1 ( x )  g 2 ( x ) 3. (x  Dg 2 ) g 2 ( x)   ( x) S  {g  G | g  f }Kiểm tra S là tập được sắp một phần. 12 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------Định lý Hahn-Banach Cho X là không gian tuyến tính thực, M - không gian con của X. là một phiếm hàm tuyến tính trên M. f Nếu tồn tại một hàm dưới tuyến tính  : X  R , sao cho x  M : f ( x)   ( x ) thì tồn tại một phiếm hàm tuyến tính F : X  R , sao cho 1. (x  M ) F ( x )  f ( x) 2. (x  X ) F ( x)   ( x) 11 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Giả sử P là một tập con được sắp toàn phần của S thì cận trêncủa nó là phiếm hàm có miền xác định bằng hợp các miền xácđịnh của tất cả các phiếm hàm thuộc P và có giá trị bằng vớigiá trị của từng phiếm hàm g trên miền xác định của g.Theo bổ đề Zorn, S có phần tử tối đại F.F là hàm cần tìm. 13 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- cần chọn  sao cho sup | F ( y )   ( y  x0 ) |   inf |  ( x  x0 )  F ( x) | xDF yDF vì F là hàm tuyến tính nên có thể chọn được  F ( x  y)  F ( x)  F ( y )   ( x  y)  F ( x)  F ( y )   ( x  x0 )   ( y  x0 )  F ( y )   ( y  x0 )   ( x  x0 )  F ( x) Vậy h trội hơn F, mâu thuẫn với F là phần tử tối đại ■. 15 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- --------------- Cho E và F là hai không gian định chuẩn. L(E,F) là không gian các ánh xạ tuyến tính liên tục từ E vào F. (f  L( E , F )) || f || inf{k : f ( x )  kx, x  F } Định lý 1. Hàm f || f || là một chuẩn trong L(E,F). || f ( x ) || 2. || f || sup  sup || f ( x) || sup || f ( x) || x  0 || x || || x||1 || x||1 16 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------Hệ quả 1 Với mọi phiếm hàm tuyến tính liên tục f trên không giancon M của không gian định chuẩn E đều tồn tại một phiếmhàm tuyến tính liên tục F trên E sao cho 1. F |M  f ; 2. || F |||| f || 17 1. Dạng giải tích của định lý Hahn-Banach. ---------------------------------------------------------------------------------------------------- ---------------Chứng minhĐể sử dụng định lý Hahn-Banach, ta xây dựng sơ chuẩn (x  E )  ( x ) || f ||  || x ||1. Cần kiểm tra  là một sơ chuẩn2. (x  M ) |f ( x) ||| f ||  || x ||  ( x) Tồn tại phiếm hàm tuyến tính F : E  R , sao cho F |M  f và (x  E ) | F ( x ) |  ( x ) || f || . || x || Suy ra F(x) liên tục và || F ( x ) || || f || . || x || || F || sup  sup  sup || f |||| f || x  0 || x || || x || x0 ...