Giải Toán hệ phương trình bằng nhiều phương pháp

Tài liệu giúp giải Toán một cách nhanh chóng, chính xác. Đồng thời củng cố lại kiến thức Toán học đại số để các học sinh nắm vững kiến thức Toán về phương trình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giải Toán hệ phương trình bằng nhiều phương pháp www.vuihoc24h.vn - Kênh Kênh h Online www.vuihoc24h.vn - học tập c t p OnlineBài toán 1: Cho a,b,c dương và abc=1. CMR:  1  1  1  a + 1 −  b + 1 −   c + 1 −  ≤ 1  b  c  a GIẢI x y zTa thay a = ; b = ; c = thì BĐT cần chứng minh trở thành: y z x ( x + y − z )( y + z − x)( x + z − y ) ≤1 xyz ⇔ ( x + y − z )( y + z − x)( x + z − y ) ≤ xyzĐến đây công việc còn lại xin nhường cho bạn đọc.NX: Do abc = 1 nên luôn tồn tại các số x,y,z thoả mãn phép thế trên , trong đó điều kiện x,y,z phụ thuộcvào điều kiện của a,b,c.Không những vậy từ bài toán trên ta có thể thấy được lợi ích của việc sử dụngphép thế: nó giúp ta giải quyết bài toán nhanh chóng mà nhiều khi nó còn giúp ta phát hiện ra nguồn gốc ncủa bài toán ban đầu. Chẳng hạn với 2 bài toán sau:Bài toán 2: .v 1. Cho a,b,c dương và abc=1. CMR: 1 1 1 3 + + ≥ a (b + 1) b(c + 1) c(a + 1) 2 h 2. Cho x,y,z,t dương và xyzt=1. CMR: 4 1 1 1 1 4 + 2 + 2 + 2 ≥ x ( yz + zt + ty ) y ( xz + zt + tx) z ( xy + xt + ty ) t ( xy + yz + xz ) 3 2 2 GIẢI: x y z1. Đặt a = ; b = ; c = khi đó BĐT cần chứng minh tương đương với BĐT sau: c y z x o 1 1 1 3 + + ≥ x y  yz  z x  2  + 1  + 1 +1 y z  z  x  x y  ih   yz xy xz 3 + + ≥ xy + xz xz + yz xy + yz 2 uBĐT trở lại dạng Nesbit, bạn đọc tự chứng minh. V2. Với bài toán này bạn đọc tự giải.Gợi ý nguồn gốc bài toán: a b c d 4 + + + ≥ b+c+d a +c+d a +b+d a+b+c 3BL1: Cho a,b,c dương và abc=1.CMR: 1 1 1 3 + + ≥ a (a + 1) b(b + 1) c(c + 1) 2BL2: Cho a,b,c dương. CMR: b c a + + ≤1 a + 2b b + 2c c + 2aBL3: Cho a,b,c dương và abc=1. CMR: a b c + + ≥1 8c + 1 3 8a + 1 3 8b3 + 1V.Kĩ thuật hệ số bất định – phương pháp chọn phần tử lớn nhất, nhỏ nhất: 1. Kĩ thuật hệ số bất định Kĩ thuật này thường được sử dụng đối với bất đẳng thức không đối xứng. Sau đây là một số ví dụ:Lớp bài toán thứ nhất:Bài toán 1: Cho x,y,z là các số dương.CMR: 1. x 2 + y 2 + z 2 ≥ xy + yz + xz 2. 6 x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 ≥ 4 xy + 8 xz + 2 yz GIẢI:1. Bài toán này chắc hẳn là quá quen thuộc với các bạn, nó cũng đã có khá nhiều trong các cuốn sách vềBĐT. Sau đây là lời giải của bài toán này: x 2 + y 2 ≥ 2 xy y 2 + z 2 ≥ 2 yz ⇒ 2( x 2 + y 2 + z 2 ) ≥ 2( xy + yz + xz ) ⇒ đpcm x 2 + z 2 ≥ 2 xz2. Ta giải bài toán trên như sau: n A = 6 x 2 + 3 y 2 + 5 z 2 = 2( x 2 + y 2 ) + 4( x 2 + z 2 ) + y 2 + z 2Đến đây ta áp dụng BĐT Cauchy ta có: .v 2( x 2 + y 2 ) ≥ 4 xy 4( x 2 + z 2 ) ≥ 8 xz ⇒ A ≥ 4 xy + 8 xz + 2 yz h y 2 + z 2 ≥ 2 yzLB: Chắc hẳn các bạn sẽ thắc mắc cách giải của câu 2, không hiểu vì sao lại tách ra được như vậy. Sau 4đây là bí mật của cách ...