Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 1

Phần 1 Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4) trình bày các nội dung: Tích phân trên các nhóm compắc địa phương, đại số định chuẩn và lý thuyết phổ. Mời các bạn cùng theo dõi nội dung chi tiết giáo trình.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Cơ sở giải tích hiện đại (Tập 4): Phần 1 7 IEUDONNÉ cơ sớ GIÃI TÍCH HIÊN AM TẬP IV NHÀ X U Ấ T BẢN ĐẠI HỌC VÀ TRUNG HỌC CHUYÊN NGHIỆP JEAN I) I E u no N.N É Cơ sớ GIẢI TÍCH HIỆN ĐẠI TẬP IV PHAN VĂN CHƯƠNG dịch XUẤT BẲN B Ạ I HỌC VÀ T R U N G HỌC CHUYỂN NGHIỆP HÀ NỘI — 1977 ELEMENTS DANALYSE J. DIEUDONNÉ Professeur ã la Faculle des Sciences lie Nice CHƯƠNG XIV TÍCH P H Â N T R Ê N CÁC N H Ó M COMPẲC ĐỊA PHƯƠNG B ộ đ o Ha va p h é p chập t r ê n các n h ỏ m compắc địa í ] H>hư Trong loàn bộ chương này, đề đơn qiầh, ta sẽ nói « nhóm compãc địa phương* thay cho ((nhóm comipắc địa phương khả metric và khả ly)). 1. sự TỒN TẠI VÀ TÍNH DUY NHẮT CỦA ĐỘ ĐO HA Giả sử G là m ộ t n h ó m c o m p ắ c địa p h ư ơ n g ( k h ả m ê - trie và k h ả l y ) . V ớ i m ọ i á n h xạ f của G vào m ộ t tập họp E và m ọ i .5 ^ (ì, ta ký h i ệ u Ỵ ( S ) / và ỗ(s)f là c á c ánlh xa của 6 v à o E đ ư ợ c xác đ ị n h b ổ i (14.1.1) Ợ(s)f)(x) = f(s^x), (ồ(s)f)(x) = f(xs) (tịnh liến sang t r á i và tịnh t i ế n sang p h ả i củi! / b ở i Si). T ứ định nghĩa ta có ngay (14.1.1.1) T (s0/-= ĩ(s)(ĩJ)n, ô w = (*) (0(0/) v ờ i m ọ i 5, í thuộc G. Cho m ộ i d ỏ đo (phức) ạ t r ê n G, ta ký h i ệ u Ỵ(.S-) và ỗ(s) là đ ộ đ o t r ê n G, ả n h của ạ qua c á c p h é p đ ò n g p h ô i 1 X —*• sx và .r —> xs t ư ơ n g ứ n g (13.1.6) ; ta có 1 (14.1.2) < f , r(.s> > = < TÍ*- )/-, ịx > , < ĩ , ỗ(s)ịx > = < ỗ(s-% ụ > v ớ i m ọ i Ị £E S^c (^)- ì ù đ ị n h nghĩa la cỏ (14.1.2.1) r(.v/),u = T(*)(T(0H)> Ô(s0^ - ô ( * ) ( ô ( / ) ụ) v ố i m ọ i 5, / thuộc G. Ta n ổ i r ằ n g , ịi là bối biến /rót ( t ư ơ n g ủ n g , ýDÀíỉí) nếu v ớ i m ọ i s ^ G ta có Ỵ(.S) p, = ,u ( t ư ơ n g ứ n g , ỗ(s)ịi = Nếu m ộ t đ ọ đo n =f= 0 t r ê n ổ là bất b i ế n t r ả i , ta có Supp(n) = G, bởi vì theo (Ị3.19.4) Supp ( Ỵ ( Ẵ ) , U ) = 4 s. Supp(fi) v ố i mọi G, và Supp(fi) 4= 0 . Ta cũng có điều tượng t ự đ ố i với độ đo hất biến phải. Giả s ư ụ là một đ ộ đo trên G bất biến t r á i ; khi đó, nếu f là một ánh xạ ụ, — khả tích của G vào R hoặc c , thì v ớ i m ọ i s 6 G, h à m X -*• fa- x) cũng là |i — khả 1 tích và ta có (14.1.2.2) J / ( s - r ) dịx(x) = ị* f(x)địi(x) (13.7.10); nói riêng, với mọi tập hợp ụ, — khả tích A, sA là ịi — khả tích và ta có (14.1.2.3) ịx(sA) = n(A). Vói mọi á n h xạ f của G vào một tập hợp E, ta đặt V _ 1 (14.1.3) f(x) = / ( x ) 0 i mọi ÍT € G. V Với mọi độ đo ụ. trên (ì, ta ký hiệu |i là ảnh của ụ, - 1 qua phép đòng phôi X —• X của G lên chinh n ó ; n h ư vậy ta có (14.1.4) < / • , ( ! > = < / , n> với m ọ i /• $ % (G). Từ định nghĩ a suy ngay ra là c ( í ) Tồn tại. Ta ký h i ệ u 5 £ * là tập h ợ p c á c b á m g>0 1 thuộc 9 £ R ( G ) và k h á c v ớ i h à m 0. V ớ i m ọ i h à m / ^ ^ 3 1 (G) v à m ọ i h à m g £ S £ * , t ò n t ạ i n h ữ n g số d ư ơ n g R c Cz, . . . , c 1( r và những điếm Si, «2. s x sao cho ta có (14.1.5.1) f < ỵ^Ciyisỳg r ( n ó i cách k h á c , f ( x ) < ^ c^Sị^x) vời mọi X ^ G) • i=l t h ự c v ậ y , c ó m ộ t phẫn m ở k h ô n g r ỗ n g lĩ của G sao cho a = i n f g(x) > 0 ; vì Supp(/) là compắc, n ê n có một số h ữ u h ạ n n h ư n g d i ê m .Sj €5 ổ (Ì < í < / • ) sạo cho s// p h ủ S ú p p ( / ) , k h i đ ó , v á i m ỗ i ĩ ta l ...