Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2

Phần 2 Giáo trình Đại số tuyến tính gồm nội dung các chương: Cấu trúc của tự đong cấu, không gian vector Euclid, dạng song tuyến tính và dạng toàn phương, đại số đa tuyến tính. Mời các bạn cùng tham khảo.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình Đại số tuyến tính: Phần 2 Chương 4 C Ấ U T R Ú C C Ủ A T ự ĐỒNG C Ấ U Mục đích của chirơng n à y là t ì m cho mỗi t ự đồng cấu (trong trườnghợp có t h ê đ ư ợ c ) một, cơ sở cùa không gian, sao cho trong cơ sở đó t ựđồng cấu có ma t r ậ n đ ơ n giản, cụ t h ể là càng gện ma t r ậ n chéo càngtốt.Ì V é c t ơ riêng và Giá t r i riêngGiả sử V là một không gian véctơ trên trường K, và / : V —> V là mộtt ự đồng cấu của V. Việc nghiên cứu / trên toàn không gian V đôi k h igặp khó k h ă n , vì V q u á l ớ n . Người ta muốn t r á n h điều đ ó bằng cáchhạn chế / lên m ộ t số không gian con nào đ ố u của V. Nhưng đ ể chohạn chế đ ó v ẫ n còn là một. t ự đồng cấu đ ỉ a lĩ thì không gian con n à yphải có tính chất đặc biệt nói trong định nghĩa san đây.Đ ị n h n g h ĩ a 1.1 Không gian véctơ con u của V được gọi là một khônggian con ồn định đối với Ị (hay một không gian con Ị-ổn định) nếuHU) CU. Dôi khi n g ư ờ i ta cũng nói cho gọn rằng u là một không gian conổ nđịnh. nếu / đ ã rõ. Một, số tài liệu d ù n g thuật, ngữ không gian con bất biến trong trườnghợp này. C h ú n g tôi cho rằng thuật ngữ không gian con ổn định chínhxác hơn. Còn thuật ngữ không gian con bất biến đối với f dùng đ ể chỉkhông gian con sau đ â y : VỈ : = {v V- bất kỳ, các không gian con sau đ â yđ ề u là / - Ổ n định: { 0 } , V, Kerf, Im,ỉ. 167 N ế u may m ắ n có c á c k h ô n g gian con / - ổ n đ ị n h Ui v à Ư2 sao choV — Ui © Ư2- t h ì / ì = / l í / ! v à /2 = / | í / 2 đ ề u là c á c t ự đ ồ n g c ấ u . Mỗivéctơ V € V có t h ể v i ế t duy n h ấ t d ư ớ i d ạ n g V = Ui + « 2 , t r o n g đóUi e Ư1.U2 e Ư2_, và f(v) = / ( t i l ) + /(1*2).K h i đ ó việc n g h i ê n c ứ u t ự đ ồ n g c ấ n / t r ê n V có t h ế q u ì về việc n g h i ê nc ứ u c á c t ự đ ồ n g c ấ u fi của Ui. (ỉ = 1,2). Nói r õ h ơ n , n ế n / ì c ó matrận A trong c ơ sở (ei, ...,e ) của m Ơ I , v à /2 có ma trận B trong cơ sở(e m + i, ....€„) của Ơ2. t h ì / có ma t r ậ n Ị A ị ồ ^ 0 I B )t r o n g cơ sờ ( e i , . . . . e , em m + i , e „ ) cùa V. Như thế, det/ = det./ -de t./ . 1 : 2Nói r i ê n g , / là mẳt. đ ằ n g c ấ u t u y ế n t í n h n ế u v à chỉ n ế u f i v à /2 c ù n glà c á c đ ẳ n g c ấ u t u y ế n t í n h . T u y vậy, mẳt. k h ô n g gian con ổ n đ ị n h nói chung k h ô n g có p h ầ n bùt u y ế n t í n h cũng là mẳt. k h ô n g gian con ổ n đ ị n h . Sau đ â y là m ẳ t v í d ụ . G i ả s ù V là m ẳ t k h ô n g gian véct.ơ 2 chiều t r ê n K v ớ i m ẳ t c ơ s àgồm hai v é c t ơ a v à Ị3. T ự đ ồ n g c ấ u / : V —> V đ ư ợ c x á c đ ị n h bởif(a) = 0, /(/?) = Q. K h i đ ó ự = C{oì) là k h ô n g gian con / - ổ n đ ị n h mẳt.chiều duy nhất. của V. Đẳc g i ả h ã y t ự chứng m i n h đ i ề u n à y x e m nhưm ẳ t bài t ậ p . M ẳ t c â u h ỏ i đ ư ợ c đặt. ra l à l à m t h ế n à o đ ể t ì m c á c k h ô n g gian conỔn đ ị n h đ ố i v ớ i mẳt. t ự đ ồ n g c ấ u đ ã cho? Đ á n g t i ế c l à k h ô n g c ó m ẳ tp h ư ơ n g p h á p chung n à o đ ể l à m đ i ề u đ ó t r o n g t r ư ờ n g h ợ p t ổ n g q u á t . Sau đ â y t a sẽ x é t mẳt. t r ư ờ n g h ợ p r i ê n g đ ặ c biệt. t h ú v ị , c ó n h i ề u ứ n gd ụ n g t r o n g V ậ t lý v à C ơ học. Đó là t r ư ờ n g h ợ p c á c k h ô n g gian con ổ nđ ị n h m ẳ t chiền. 168 Gia sử L là m ộ t k h ô n g gian con / - ô n đ ị n h m ộ t chiều. G i ả sử rí G Llà m ộ t v é c t ơ k h á c 0. K h i đ ó ( í * ) l à m ộ t cơ sờ của L. Vì / ( ì ) c L , choÌ HUI có m ộ t vô h ư ớ n g A G ne sao cho / ( « ) = Ao.X gìn re l ạ i . uốn có m ộ t vector Cí 7^ 0 v à m ộ t v ô h ư ớ n g Ằ É K sao chof{Nếu A = (fltj)nxn. thì an - X 0-12 ... avn «21 «22 - - X ... 0-2») ...