Giáo trình thủy lực biển ( Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Phụ lục

MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ1.CÁC KHÁI NIỆM VỀ VÉC TƠ VÀ PHÉP BIẾN ĐỔI TOẠ ĐỘ1.1. Hệ toạ độ và biến đổi toạ độHệ toạ độ Trong hình học Ơclit chúng ta cho rằng các đại lượng y 1 , y 2 , y 3 các các toạ độ trong hệ Đề-các trực giao. Các đại lượng
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình thủy lực biển ( Nxb Đại học Quốc gia Hà Nội ) - Phụ lục PHỤ LỤC MỘT SỐ KHÁI NIỆM VỀ TEN XƠ VÀ GIẢI TÍCH TEN XƠ1 .CÁC KHÁI NI Ệ M V Ề V ÉC T Ơ V À PHÉP BI Ế N Đ Ổ I TO Ạ Đ Ộ 1 .1. H ệ t o ạ đ ộ v à bi ế n đ ổ i to ạ đ ộ Hệ toạ độ T rong hình h ọ c Ơ clit chúng ta cho r ằ ng các đ ạ i l ượ ng y 1 , y 2 , y 3 c ác cácto ạ đ ộ t rong h ệ Đ ề -các tr ự c giao. Các đ ạ i l ượ ng 1 2 3 α α x (y , y , y ) x = ( 1)đ ượ c xác đ ị nh nh ư c ác to ạ đ ộ c ong x α t rong trong mi ề n V n ế u nh ư h àm (1) chophép bi ế n đ ổ i ngh ị ch đ ả o α α y y (x , x , x ) 1 2 3 = ( 2) M ặ t x α = c onst đ ượ c g ọ i là m ặ t t ạ o đ ộ v à đ ườ ng cong mà trên đ ó ch ỉ c óm ộ t to ạ đ ộ d uy nh ấ t bi ế n đ ổ i đ ượ c g ọ i là đ ườ ng to ạ đ ộ . x3 e3 e2 M 1 e x2 O x1 Hình 1. H ệ t o ạ đ ộ v à véc t ơ c ơ s ở c ủ a h ệ t o ạ đ ộ 203 Cho đ i ể m c ố đ ị nh O là g ố c to ạ đ ộ v à bán kính véc t ơ OM , ng ườ i ta đ ư a rađ ị nh ngh ĩ a các véc t ơ c ơ s ở e 1 , e 2 , e 3 n h ư s au: ∂OM eα = ( 3) α ∂x Theo đ ị nh ngh ĩ a trong hình h ọ c gi ả i tích đ ây chính là các véc t ơ t i ế p tuy ế nv ớ i đ ườ ng to ạ đ ộ x α t ạ i đ i ể m M. Đ ố i v ớ i các véc t ơ a b ấ t k ỳ t a có th ể p hân tích v ề d ạ ng thành ph ầ n thôngqua các véc t ơ c ơ s ở : a =a e +a e +a e 1 1 2 2 3 3 eα B ên c ạ nh các véc t ơ c ơ s ở n g ườ i ta còn đ ư a ra đ ị nh ngh ĩ a v ề đ ố i véc α etơ cơ sở t heo m ố i t ươ ng quan hàm nh ư s au: eα e = δ α α β . ⎧0 ↔ α ≠ β δ β =⎨ t rong đ ó ⎩1 ↔ α = β .α T rong tr ườ ng h ợ p đ ó véc t ơ a b ấ t k ỳ t a có th ể p hân tích v ề d ạ ng thành α eph ầ n thông qua các véc t ơ c ơ s ở n h ư s au: α 1 2 3 a = a e + a e + a e = aα e 1 2 3 C ác thành ph ầ n a α đ ượ c g ọ i là các thành ph ầ n covariant và a α t ươ ng ứ ng làcontrecovariant. Đ ố i v ớ i h ệ t o ạ đ ộ Đ ề -các thì các thành ph ầ n này hoàn toànt ươ ng đ ươ ng. Trong các công th ứ c có ch ứ a tích các s ố h ạ ng kèm theo ch ỉ s ố ,n ế u các ch ỉ s ố t rùng nhau thì đ ó là t ổ ng c ủ a các thành ph ầ n v ớ i các ch ỉ s ố b i ế nđ ổ i t ừ 1 đ ế n 3. T ạ i đ i ể m M t ừ h ai h ệ v éc t ơ c ơ s ở t a có th ể t hu đ ượ c m ộ t ma tr ậ n đ ố ix ứ ng: αβ α β mαβ = eα eβ m =e e và 204 T ừ c ác bi ể u th ứ c này ta có: α α α α β mαβ a = eα eβ a = a eα eβ = a eβ = aα e eβ = a β e eβ = aβv à t ươ ng t ự αβ α αβ α α m aβ = a m eβ = e , mαβ e = eβ . , Đ ồ ng th ờ i ta c ũ ng thu đ ượ c: = δ .α ωβ ω mαβ m ωβ mαβ mđ i ề u này cho ta th ấ y hai ma tr ậ n và n gh ị ch đ ả o nhau. Trên các c ơ s ở đ ị nh ngh ĩ a và h ệ q u ả n êu trên chúng ta có th ể đ ư a ra bi ể uth ứ c tích vô h ướ ng hai véc t ơ n h ư s au: α β αβ β a b = mαβ a b =m aα bβ = aα b . Ta c ũ ng có th ể v i ế t công th ứ c tính kho ả ng cách gi ữ a hai đ i ể m M’(x α +dx α )và M(x α ), bi ế t r ằ ng ∂OM ∂ xα xα eα xα ds = OM − OM = =d dtừ đó ...