Giáo trình tính toán khoa học - Chương 3

Để các bạn làm quen với các công cụ của Matlab trong đại số tuyến tính, trước hết chúng tôi cần nhắc lại một số khái niệm về ma trận và các phép toán trên ma trận. 3.1.1 Chuyển vị ma trận Cho ma trận A=(aij)mxn. Ma trận chuyển vị của A là ma trận A =(aij)nxm sao cho aij=aji. Nếu A’=A thì A được gọi là một ma trận đối xứng.
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 3 Chương 3 GIẢI TÍCH MA TRẬN VÀ ĐẠI SỐ TUYẾN TÍNH3.1 GIẢI TÍCH MA TRẬN Để các bạn làm quen với các công cụ của Matlab trong đại số tuyến tính,trước hết chúng tôi cần nhắc lại một số khái niệm về ma trận và các phép toántrên ma trận.3.1.1 Chuyển vị ma trận Cho ma trận A=(aij)mxn. Ma trận chuyển vị của A là ma trận A =(aij)nxm saocho a ij=aji. Nếu A’=A thì A được gọi là một ma trận đối xứng. Thí dụ 1. 1 5 9 1 2 3 4  2 6 10  Nếu A   5 6 7 8  thì A   . 7 11  3  9 10 11 12      4 8 12 3.1.2 Định thức của ma trận vuông Cho ma trận vuông A cấp n . Ta gọi ma trận con của ma trận A tương ứngvới phần tử a ij là ma trận vuông cấp n-1 suy từ A b ằng cách bỏ đi các phần tửhàng i và cột j . Thí dụ 2. Sau đây là ma trận A và các ma trận con M23 và M12 tương ứngvới các phần tử a23 và a12 của nó:  1 2 3  1 2  4 6 A   4 5 6  , M 23    , M12   7 9  . 7 8  7 8 9     Định thức của ma trận A vuông cấp n , gọi là định thức cấp n, được địnhnghĩa theo phương pháp qui n ạp như sau: - Nếu A là ma trận cấp 1 hay A=(a11), thì det(A)=a11; 62 a11 a12  - Nếu A là ma trận cấp 2 hay A   thì  a21 a22    d et(A) = a 11 a22 - a12 a 21=a 11det(M11) - a12 d et(M12 ); - Tổng quát: Nếu A là ma trận cấp n≥2 thì det( A)  a11det(M11)-a12 det(M12 )+...+ (-1)1+n a1n d et(M1n ), n  (1) j 1 a1 j det(M1 j ) .hay (3.1) det( A)  j 1 Để tính định thức của ma trận cấp n theo công thức qui nạp, ta phải tính nđịnh thức cấp n -1. Do đó số phép tính để tính định thức của ma trận cấp n sẽ tăngtheo tốc độ của n!. Trong thực tế, khi cần giải các b ài toán về đại số tuyến tính cỡlớn, người ta cố gắng tránh các phương pháp có sử dụng định thức.3.1.3 Ma trận trận nghịch đảo Giả sử A là ma trận vuông cấp n. Nếu tồn tại ma trận B vuông cấp n sao choAB=BA=E (E là m a trận đơn vị cấp n) th ì A được gọi là ma trận khả nghịch. Khiđó B được gọi là ma trận nghịch đảo của A và được kí hiệu là B =A-1 . Chỉ ma trận có định thức khác không (hay ma trận không suy biến) mới khảnghịch đảo và ma trận nghịch đảo của A có thể tính đ ược bằng công thức:  c11 c21 ... nn1  1  c12 c22 ... cn2  1 A1  CT  . (3.2)  det( A)  ... ... ... ...  det( A) c ... cnn   1n c2 n trong đó C=(cij)nxn, với cij=(-1)i+jdet(Mij) gọi là phần phụ đại số của phần tử a ijcủa ma trận A. Chú ý rằng với khái niệm về phần phụ đại số ta có: n n  aij cij   aij cij . det( A)  j 1 i 1 Với công thức trên, đ ể tính ma trận nghịch đảo của ma trận cấp n thì cầnphải tính n 2 định thức cấp n-1 . Rõ ràng đ ây là phương pháp rất kém hiệu quả. Vìvậy ta cần phải tìm kiếm các phương pháp tính khác, hiệu quả hơn. Sau đây làmột số các hàm ma trận và vector trong Matlab: 63 Bảng 3-1 Một số hàm ma trận và vector trong Matlab Hàm Ý nghĩa Tính m a trận nghịch đảo của ma trận vuông A. inv(A) Tính định thức của ma trận vuông A. det(A) A hoặc A. Tạo ma trận chuyển vị của ma trận A. Hàm vết của ma trận hay t ...