Giáo trình tính toán khoa học - Chương 7

Xét phương trình một biến có dạng: f(x) = 0 (7.1) Nếu hàm f(x) liên tục trong khoảng [a,b] và đổi dấu tại hai đầu mút của khoảng,
Nội dung trích xuất từ tài liệu:
Giáo trình tính toán khoa học - Chương 7 Chương 7 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÀ TỐI ƯU HÓA7.1 GIẢI PHƯƠNG TRÌNH7.1.1 Giải phương trình một biến số Xét phương trình một biến có dạng: f(x) = 0 (7.1) Nếu h àm f(x) liên tục trong khoảng [a,b ] và đổi dấu tại hai đầu mút củakhoảng, tức là f(a)fb) Bằng cách nào đó đưa phương trình f(x)=0 về dạng h(x)-g(x) =0, trong đócác hàm h(x) và g(x) d ễ vẽ (phác thảo) đồ thị. Dựa vào d ạng đồ thị và một sốđiểm đặc biệt ta xác định các khoảng phân li nghiệm. Thí dụ 1. Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình: x3 - x – 1 = 0 (7.2) Đặt y= f(x) = x3 - x – 1. Giải. 1 Tính y’ = 3x2 và giải phương trình y’ = 0 được x =  . 3 Bảng biến thiên của h àm số: 1 1  - + x 3 3 y’ + 0 - 0 + + M y - m 1 1 1 1 Với  1  0 , do đó m  f ( )  0 .Ta tính thêm M  f ( )  3 33 3 3giá trị h àm tại một vài điểm đặc biệt: f(1) = 1 3 – 1 – 1 = -1 < 0 , f(2) = 2 3 – 2 – 1 = 5 > 0. Vậy [1,2] là kho ảng phân ly n ghiệm của phương trình (7.2) và phương trìnhch ỉ có một nghiệm duy nhất. Nhược điểm của phương pháp khảo sát là cần phải tính đạo hàm cùng vớinghiệm của nó. Điều này sẽ rất khó khăn khi giải phương trình siêu việt. Thí dụ 2. Tìm các khoảng phân ly nghiệm của phương trình: 1 lg x   0. (7.3) x2 Giải. Khoảng xác định của h àm số y=f(x) là (0,+). 1 Đặt h (x)=lgx và g ( x)  . Khi đó dạng đồ thị của chúng là: x2 166 1 y g= x2 h=lgx  1 x 1 H ình 7.2 Dáng điệu đồ thị của các hàm h (x) = lgx và g ( x)  x2 Từ đồ thị trong hình 7.2 ta tính giá trị hàm tại một số điểm đặc biệt: x=1 y = 0 - 1 < 0; 1 y =1  100 > 0. x =10 Vậy phương trình đã cho chỉ có một nghiệm duy nhất nằm trong khoảngphân ly nghiệm [1,10]. Qui tắc chung để giải phương trình một biến dạng f(x)=0 như sau: + Tìm các khoảng phân ly nghiệm của ph ương trình; + Giải phương trình trong từng khoảng phân ly nghiệm bằng một trong cácphương pháp số.7.1.2 Phương pháp Chia đôi (Binary) Giả sử [a,b] là một khoảng phân ly nghiệm của phương trình f(x)=0. Ta cầnphải tìm nghiệm  của phương trình trong khoảng này với sai số tuyệt đối khôngquá  . Có thể thực hiện theo thủ tục lặp sau đây:  Thủ tục Binary - Bước lặp k=1,2,... ab + Tính x = ; 2 + Nếu f(x) và f(a) cùng dấu th ì gán a =x , ng ược lại thì gán b =x; + Nếu b- a   thì dừng thủ tục và x là nghiệm xấp xỉ cần tìm; Ngược lại chuyển sang b ước k+1. Quá trình lặp của thủ tục sẽ ngừng khi b- a   . Do đó khi kết thúc thủtục ta được x là nghiệm xấp xỉ cần tìm. 167 y  a x b x Hình 7.3 Phương pháp Chia đôi Định lý 7.2 Nếu f(x) liên tục tron ...